Bonsoir,
1) Soit z et z'∈C tel que z'=-2/z
║z'║=║-2/z║
comme ║-2║=2 donc
║z'║=2/║z║ d'où:
║z║*║z'║=2
Arg(z')=Arg(-2/z)
Arg(z')=Arg(-2)-Arg(z)
comme Arg(-2)=0
Arg(z')=-Arg(z)
2) Soit z et z' deux nombres complexes tels que:
z=x+iy et z'=x'+iy' avec x,x',y et y' ∈R.
on sait que z et z' sont liés par la relation suivante:
z'=-2/z
x'+iy'=-2/(x+iy)
x'+iy'=-2/(x+iy)
x'+iy'=-2(x-iy)/[(x-iy)(x+iy)]
x'+iy'=-2(x-iy)/(x²+ixy-ixy+y²)
x'+iy'=-2(x+iy)/(x²+y²)
x'+iy'=(-2x/(x²+y²))-(2iy/(x²+y²))
a) z' est un réel strictement positif si
iy'=0
y'=0
2y/(x²+y²)=0
y=0
x'>0
-2x/(x²+y²)>0
-2x>0
x<0
donc z'∈R+* si et seulement si z∈R-* (partie négative de l'axe des abscisses)
b) z' est un réel si et seulement si
iy'=0 (voir calcul précédent)
y=0
donc z'∈R si et seulement si z ∈R (axe des abscisses)
c) z' est un imaginaire pur si
x'=0
-2x/(x²+y²)=0
-2x=0
x=0
donc z' est un imaginaire pur si et seulement si z est une imaginaire pur (axe des ordonnées)
3)a) Si M appartient au cercle de centre O et de rayon 2 donc on peut écrire:
║OM║=2
Comme on a:
║z'║║z║=2 (voir question1)
Comme ║z║=║OM║=2 donc
2*║z'║=2
║z'║=1
comme ║z'║=║OM'║=1
donc on en conclue que l'ensemble des points est le cercle de centre O et de rayon 1cm privé du point O (il s'agit du cercle trigonométrique)
b) Soit le point a dont on nous donne les caractéristiques suivantes:
║a║=2 et arg(a)=pi/4 donc on peut écrire que:
z(a)=2(cos(pi/4)+isin(pi/4))
z(a)=2(√2/2+i√2/2)
z(a)=√2+i√2
Nous allons maintenant chercher a', l'image de a par la transformation donnée donc:
z(a')=-2/z(a)
z(a')=-2/(√2+i√2)
z(a')=-√2/(1+i)
z(a')=-√2(1-i)/[(1+i)(1-i)]
z(a')=-√2(1-i)/(1-i+i+1)
z(a')=(-√2/2)(1-i)
z(a')=(-√2/2+i(√2/2))
On calcule alors le module de z(a') et l'argument Ф' de a':
║z(a')║=√((-√2/2)²+(√2/2)²)=1
z(a')=║z(a')║(cosФ'+isinФ')
comme ║z(a')║=1 donc:
cosФ'=-√2/2 et sinФ'=√2/2 donc Ф'=3pi/4 (lecture sur le cercle trigo)
Donc si M ∈ [OA] alors M' ∈ [OA'] avec A'(-√2/2,√2/2)
(NB: On passe de l'un à l'autre par une rotation de centre O et d'angle pi/2)
Voilà j'ai terminé, j'espère que cela va te permettre de comprendre ce genre d'exercice qui tombe souvent au bac depuis très longtemps (je l'ai eu en 2000 et j'ai eu ce genre d'exercice). j'ai pris grand plaisir à le faire. Cordialement
