Bonjour
Déterminer l'ensemble des points M tels que M' = M
où M = z et [tex]M' = \frac{1}{2}(z+ \frac{1}{z})[/tex]
revient à résoudre l'équation : [tex]z=\frac{1}{2}(z+ \frac{1}{z})[/tex]
En multipliant chaque côté de l'égalité par z, on obtient :
[tex]z^2=\frac{1}{2}z(z+ \frac{1}{z})[/tex]
⇔ [tex]z^2=\frac{1}{2}z^2+ \frac{1}{2}[/tex]
⇔ [tex]z^2-\frac{1}{2}z^2- \frac{1}{2} =0[/tex]
Pour résoudre une équation du second degré, il faut toujours avoir zéro sur l'un des côtés du signe =.
Donc [tex]z^2-\frac{1}{2}z^2- \frac{1}{2} =0[/tex] ⇔ [tex]\frac{1}{2}z^2- \frac{1}{2} =0[/tex]
⇔ [tex]\frac{1}{2}(z^2-1) =0[/tex] ⇔ [tex]z^2-1 =0[/tex]⇔[tex]z^2 =1[/tex]
Donc [tex]z=1\ ou\ z=-1[/tex]
L'ensemble des points M tels que M=M' est donc l'ensemble des points d'abscisses 1 et (-1).
