Bonjour,
-----------------------------------------------------------------------------
Rappels de cours :
∀(a,b)∈ℝ², ∀n∈ℕ*, aⁿ-bⁿ = (a-b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+...+bⁿ⁻¹)
∀(a,b)∈ℝ², (√a-√b)(√a+√b) = a-b
-----------------------------------------------------------------------------
[tex]\frac{1-x^2}{1-x^5}= \frac{1^2-x^2}{1^5-x^5}=\frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4)}=\frac{1+x}{1+x+x^2+x^3+x^4}[/tex]
D'où [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1-x^2}{1-x^5}=\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1+x}{1+x+x^2+x^3+x^4}=\frac{1+1}{1+1+1^2+1^3+1^4}= \frac{2}{5} [/tex]
[tex] \frac{\sqrt{x-1}-1}{x^2-4}=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1}}{x^2-4}=\frac{(\sqrt{x-1}-\sqrt{1})(\sqrt{x-1}+\sqrt{1})}{(x^2-4)(\sqrt{x-1}+\sqrt{1})}=\frac{x-1-1}{(x^2-4)(\sqrt{x-1}+1)}[/tex][tex]=\frac{x-2}{(x^2-4)(\sqrt{x-1}+1)}=\frac{x-2}{(x^2-2^2)(\sqrt{x-1}+1)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)(\sqrt{x-1}+1)}[/tex][tex]=\frac{1}{(x+2)(\sqrt{x-1}+1)}[/tex]
D'où [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 2}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x^2-4}=\lim\limits_{x \rightarrow 2}\frac{1}{(x+2)(\sqrt{x-1}+1)}=\frac{1}{(2+2)(\sqrt{2-1}+1)}=\frac{1}{(4)(2)}= \frac{1}{8} [/tex]
