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résolu

Bonjour j'ai un devoir à rendre demain je suis en bts 2 eme année j'ai besoin d'aide, voici l'énoncé :

On considère la fonction f définie sur [0; \pi ] par f(x) = e^{-2x} sin (2x)

1) Calculer la dérivée de f.

2) Montrer que f'(x) = 2√2 e^{-2x} cos (2x + \pi /4)

3) Compléter le tableau suivant en commençant par la deuxième ligne


x 0 ? ?  \pi

X=2x + \pi /4 \pi /4 ? ? 2 \pi + \pi /4

cos(2x+ \pi /4) + 0 - 0 +


4) En déduire les variations de f.

5) Déterminer une équation de la tangeante T à la courbe C réprésentative de f au point d'abscisse 0.

6) Tracer C et T dans un repère orthogonal.

Merci d'avance

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) f'(x) = 2cos(2x)e^(-2x) - 2sin(2x)e^(-2x)

2) ⇔ f'(x) = 2e^(-2x)[cos(2x) - sin(2x)]

Or cos(2x + π/4) = cos(2x)cos(π/4) - sin(2x)sin(π/4)

= √2/2 * [cos(2x) - sin(2x)]

⇒ f'(x) = 2e^(-2x) * 2/√2 * cos(2x + π/4)

= 2√2 * e^(-2x) * cos(2x + π/4)


3) X = 2x + π/4

X > π/2 ⇔ 2x + π/4 > π/2 ⇔ x > π/8

x          0                    π/8                 3π/8             5π/8              7π/8             π
X        π/4                 π/2                   π                 3π/2               2π             17π/4

cos(X) √2/2      +        0         -          -1       -           0        +         1       +       √2/2

f(x)                     ↑                    ↓                   ↓                     ↑                   ↑

5) f'(0) = 2 et f(0) = 0

⇒ (T) : y = 2x
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