Bonsoir,
Soit l'équation suivante dans ℂ :
z⁴ = -119+120i
Soit Z = z²
D'où Z² = -119+120i
On a Z = a+ib, avec (a,b)∈ℝ²
D'où :
[tex]\begin{cases} a^2-b^2=-119\\2ab=120\\a^2+b^2=\sqrt{(-119)^2+120^2}=169 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} 2a^2=50\\2ab=120 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} a^2=25\\ab=60 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} a=-5\\b= \frac{60}{-5}=-12 \end{cases}\,ou\,\,\,\,\,\begin{cases} a=5\\b= \frac{60}{5}=12 \end{cases}[/tex]
D'où Z = -5-12i ou Z = 5+12i
Or Z = z²
D'où z² = -5-12i ou z² = 5+12i
Soit z = x+iy, avec (x,y)∈ℝ²
D'où :
[tex]\begin{cases} x^2-y^2=-5\\2xy=-12\\x^2+y^2=\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}=13 \end{cases}\,ou\,\,\,\,\,\begin{cases} x^2-y^2=5\\2xy=12\\x^2+y^2=13 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} 2x^2=8\\2xy=-12 \end{cases}\,ou\,\,\,\,\,\begin{cases} 2x^2=18\\2xy=12 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x^2=4\\xy=-6 \end{cases}\,ou\,\,\,\,\,\begin{cases} x^2=9\\xy=6 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x=-2\\y=3 \end{cases}\,ou\,\,\,\,\,\begin{cases} x=2\\y=-3 \end{cases}\,ou\,\,\,\,\,\begin{cases} x=-3\\y=-2 \end{cases}\,ou\,\,\,\,\,\begin{cases} x=3\\y=2 \end{cases}[/tex]
Donc z = -2+3i ou z = 2-3i ou z = -3-2i ou z = 3+2i
Donc les racines quatrièmes de -119+120i sont -2+3i, 2-3i, -3-2i et 3+2i
