Bonjour,
U₁ = 1/2 et Un+1 = (n + 1)/2n * Un
1) U₂ = U₁₊₁ = (1 + 1)/2 * 1/2 = 1/2
U₃ = U₂₊₁ = (2 + 1)/4 * U₂ = 3/4 * 1/2 = 3/8
U₄ = U₃₊₁ = (3 + 1)/6 * U₃ = 2/3 * 3/8 = 1/4
2) Vn = Un/n
a) V₁ = U₁/1 = U₁ = 1/2
V₂ = U₂/2 = 1/4
V₃ = U₃/3 = 1/8
V₄ = U₄/4 = 1/16
b) Vn+1/Vn
= (Un+1/(n + 1))/(Un/n)
= nUn+1/(n + 1)Un
= n[(n + 1)/2n * Un]/(n + 1)Un
= n/2n
= 1/2
⇒ (Vn) géométrique de raison q = 1/2 et de premier terme V₁ = 1/2
On en déduit : Vn = 1/2 x (1/2)ⁿ⁻¹ = (1/2)ⁿ (n-1 car 1er terme V₁ et non V₀)
Puis : Un = n x Vn = n x (1/2)ⁿ = n/2ⁿ
3) a) Pour tout n ∈ N*, n > 0 et 2ⁿ > 0
donc Un > 0
b) Un+1 - Un
= (n + 1)/2ⁿ⁺¹ - n/2ⁿ
= [(n + 1) - 2n]/2ⁿ⁺¹
= (1 - n)/2ⁿ⁺¹
Pour tout n ≥ 1, (1 - n) ≤ 0
⇒ Un+1 - Un ≤ 0
⇔ Un+1 ≤ Un
⇒ (Un) est décroissante
4)a)
lim Vn quand n → +∞ = lim (1/2)ⁿ= 0
b) ci-joint
On peut conjecturer que lim Un = 0
