exercice 1 :
f(x) = ax + b + (c/x) avec les coordonnées (1;-2) et (-2;-8) donne :
-2 = a + b + c
-8 = -2a + b - 0,5c
donc : -4 = 2a + 2b + 2c
-8 = -2a + b - 0,5c
par addition : -12 = 3b + 1,5c donc -8 = 2b + c d' où c = - 2b - 8
remplaçons c par - 2b - 8 dans la première équation :
-2 = a + b - 2b - 8 donc 6 = a - b d' où a = b + 6
f '(x) = a - (c/x²) devient avec x=1 et f '(x) = -1 : -1 = a - c donc a = c - 1
b + 6 = c - 1 donne c = b + 7
- 2b - 8 = b + 7 devient - 15 = 3b d' où b = -5
conclusion : b = -5 ; c = 2 ; et a = 1
d' où f(x) = x - 5 + (2/x)
et f '(x) = 1 - (2/x²)
2°) la fct f est croissante pour 1 - (2/x²) > 0 donc pour 1 > 2/x²
donc pour x² > 2
conclusion : la fct f est décroissante pour -1,414 < x < 0
puis pour 0 < x < 1,414
Attention : x = zéro est une valeur interdite
puisque on a "x" au dénominateur !!
exercice 2 :
g(x) = 4 rac(x) / (x+1) donc g'(x) = {[2 (x+1) / rac(x)] - 4 rac(x)} / (x+1)²
cette dérivée est nulle pour 2 (x+1) / rac(x) = 4 rac(x)
2x + 2 = 4 [ rac(x) ] ²
2x +2 = 4 x
2 = 2x
1 = x
quelques valeurs qui montrent bien que le Maximum de la fonction g est bien 2 :
g(zéro) = zéro ; g(0,5) = 1,89 environ ; g(1) = 2 ; g(4) = 1,6 ; g(9) = 1,2 ; g(16) = 0,94 environ
de plus, comme on a x positif , on a bien g(x) positif
conclusion : g(x) est bien compris entre zéro et 2
