Bonjour,
La fonction cube est la fonction qui à tout réel x lui est associé le nombre x³
On considère f la fonction cube, donc définie par f(x) = x³
Donc :
- f est définie sur ℝ
- f est continue sur ℝ
- f est strictement croissante sur ℝ
- f est dérivable une infinité de fois sur ℝ, avec f'(x) = 3x², f''(x) = 6x, f⁽³⁾(x) = 6, et f⁽ⁿ⁾(x) = 0, avec n un entier supérieur ou égal à 4
- La primitive F de f dans ℝ est définie par [tex]F(x)= \frac{x^4}{4}+k [/tex] avec k∈ℝ
- f admet pour racine 0, c'est-à-dire f(x) = 0 ⇔ x = 0
- Quand x tend vers -∞ alors f(x) tend aussi vers -∞, et quand x tend vers +∞ alors f(x) tend aussi vers +∞, d'où l'ensemble image de f est ℝ
- Soit n∈ℕ. Le développement limité de f à l'ordre n en un réel x₀∈ℝ est [tex]f(x)=x_0^3+(x-x_0)3x_0^2+\frac{(x-x_0)^2}{2}6x_0+(x-x_0)^3+(x-x_0)^n\varepsilon(x-x_0)[/tex], avec [tex]\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \varepsilon(x-x_0)=0[/tex]
