Exercice 11
Question 1
Calcul de AC
Nous savons que :
- ABC est un triangle,
- E ∈ [AB],
- D ∈ [AC],
- (ED) // (BC)
Donc d'après le théorème de Thalès,
[tex] \frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC}[/tex]
Donc :
[tex]AC* \frac{AE}{AB} = AC * \frac{AD}{AC}[/tex]
[tex]AC* \frac{AE}{AB} =AD[/tex]
[tex]AC* \frac{AE}{AB}* \frac{AB}{AE} =AD* \frac{AB}{AE}[/tex]
[tex]AC =AD* \frac{AB}{AE}[/tex]
Donc [tex]AC =2* \frac{5}{3} = \frac{10}{3} [/tex]
AC est donc égale à [tex] \frac{10}{3} [/tex], soit environ 3,33 cm.
Calcul de DC
Nous savons que D∈[AC] donc AD + DC = AC ⇔ DC = AC - AD
Donc [tex]DC = \frac{10}{3} - 2 = \frac{4}{3} [/tex]
Donc DC est égale à [tex] \frac{4}{3} [/tex] soit environ 1,33 cm.
Calcul de ED
Nous savons que
- ABC est un triangle,
- E ∈ [AB],
- D ∈ [AC],
- (ED) // (BC)
Donc d'après le théorème de Thalès :
[tex] \frac{ED}{BC}=\frac{AD}{AC} [/tex]
[tex]ED=BC*\frac{AD}{AC}[/tex]
[tex]ED=BC*\frac{AD}{AC} = 3*\frac{2}{ \frac{10}{3}}=3*2* \frac{3}{10} = \frac{18}{10} [/tex]
Donc ED est égale à 1,8 cm.
Question 2
Nous savons que
DF = 2,7 cm
DE = 1,8 cm
[tex] DC = \frac{4}{3} \ cm[/tex]
AD = 2 cm
Donc
Calcul du rapport [tex] \frac{DE}{DF} [/tex] :
[tex] \frac{DE}{DF} = \frac{1,8}{2,7} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} [/tex]
Calcul du rapport [tex] \frac{DC}{AD} [/tex] :
[tex]\frac{DC}{AD} = \frac{ \frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{3}* \frac{1}{2} = \frac{2*2}{3*2}= \frac{2}{3} [/tex]
Donc [tex]\frac{DE}{DF} =\frac{DC}{AD}[/tex]
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès (AF) // (EC).
Exercice 12
Question 1
Dans le triangle IST, nous allons calculer les rapports [tex] \frac{IR}{IS} [/tex] et [tex] \frac{IP}{IT} [/tex].
Si ils sont égaux, alors selon la réciproque du théorème de Thalès, les droites (RP) et (ST) sont parallèles.
[tex]\frac{IR}{IS} = \frac{8}{10} = 0,8[/tex]
[tex]\frac{IP}{IT} = \frac{4,8}{6} = \frac{48}{60} =\frac{6*8}{6*10} =\frac{8}{10} =0,8[/tex]
Donc [tex]\frac{IR}{IS} = \frac{IP}{IT} [/tex]
Donc, selon la réciproque du théorème de Thalès, (ST)//(RP).
Question 2
Calcul de ST
Nous savons que (ST) // (RP), que R∈[IS] et que P∈[IT].
Donc, d'après le théorème de Thalès, dans le triangle IST :
[tex] \frac{IR}{IS} = \frac{RP}{ST}[/tex]
Et donc [tex]ST*\frac{IR}{IS} = RP[/tex]
[tex]ST= \frac{RP*IS}{IR} = \frac{10*10}{8} =12,5\ cm[/tex]
Donc ST = 12,5 cm.
Question 3
Pour déterminer si (MN) // (ST), il faut calculer les rapports [tex] \frac{IM}{IT} [/tex] et [tex] \frac{IN}{IS} [/tex].
Si nous trouvons qu'ils sont égaux alors (MN) et (ST) sont parallèles.
[tex] \frac{IM}{IT} = \frac{4}{6}= \frac{2}{3} [/tex]
[tex]\frac{IN}{IS} = \frac{6}{10}= \frac{3}{5}[/tex]
Donc [tex]\frac{IM}{IT} \neq \frac{IN}{IS}[/tex]
Les droites (MN) et (ST) ne sont donc pas parallèles.
