1.a. Alors, pour arriver en A à l'étape n+1, il n'y a que deux possibilités :
- soit on était déjà en A à l'étape n auquel cas on a emprunté la boucle en A de probabilité 0,8
- soit on était en B à l'étape n auquel cas on a emprunté l'arc BA de probabilité 0,6.
Or, la probabilité d'être en A à l'instant n se note a_n et celle d'être en B à l'instant n se note b_n.
Ainsi, grâce à la formule des probabilités totales (car les évènements An et Bn forment une partition de l'univers) on a :
a_(n+1) = 0,8 x a_n + 0,6 x b_n d'où a_(n+1) = 0,8a_n + 0,6b_n.
b. a_n + b_n = 1 (d'après l'énoncé) donc b_n = 1 - a_n.
On remplace dans la formule de a_(n+1) :
a_(n+1) = 0,8a_n + 0,6(1 - a_n)
= 0,8a_n + 0,6 - 0,6a_n
= 0,2a_n + 0,6
c. u_(n+1) = a_(n+1) - 0,75
= 0,2a_n + 0,6 - 0,75
= 0,2a_n - 0,15.
Or, si u_n = a_n - 0,75 alors a_n = u_n + 0,75 qu'on remplace dans l'écriture précédente :
donc u_(n+1) = 0,2 (u_n + 0,75) - 0,15
= 0,2u_n + 0,15 - 0,15
= 0,2u_n
Ainsi, (u_n) est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme u_0.
Donc u_n = u_0 x q^n autrement dit u_n = u_0 x 0,2^n.
Or -1 < 0,2 < 1 donc 0,2^n a pour limite 0 quand n tend vers +infini.
donc u_0 x 0,2^n a pour limite 0 quand n tend vers +infini
et donc u_n a pour limite 0 quand n tend vers +infini.
Or, a_n = u_n + 0,75 donc
limite en +infini de a_n = limite en +infini de u_n + 0,75 = 0,75
Et a_n + b_n = 1 donc b_n = 1 - a_n d'où :
limite en +infini de b_n = 1 - limite en +infini de a_n = 1 - 0,75 = 0,25
d. Ainsi, quelque soit l'état probabiliste P_0 = (a_0 b_0) alors la matrice
P_n convergera vers la matrice P = (0,75 0,25).
