Bonjour,
1) lim quand t → +∞ e^(-0,125t) = 0
Donc lim quand t → +∞ f(t) = 1
On en déduit que la courbe C admet une asymptote horizontale d'équation y = 1.
2) a) f est de la forme 1/u avec u(t) = 1 + 4,9e^(-0,125t)
soit u'(t) = 4,9 x (-0,125) x e^(-0,125t) = -0,6125e^(-0,125t)
et f'(t) = -u'(t)/u²(t) = 0,6124e^(-0,125t)/[1 + 4,9e^(-0,125t)]²
b) On en déduit que f'(t) > 0. Donc :
t 0 +∞
f'(t) +
f(t) croissante 1
avec f(0) = 1/(1 + 4,9) = 1/5,9 ≈ 0,17
3)
t 0 5 10 15 20 25 30
f(t) 0,17 0,27 0,42 0,57 0,71 0,82 0,90
4) Voir ci-joint + la droite y = 0,5 pour la question suivante
5) a) f(t) = 0,5 ⇒ t ≈ 13
b) f(t) = 0,5
⇔ 1/(1 + 4,9e^(-0,125t)) = 0,5
⇔ 1 = 0,5 x (1 + 4,9e^(-0,125t))
⇔ 1 = 0,5 + 2,45e^(-0,125t)
⇔ e^(-0,125t) = 0,5/2,45 = 1/4,9
⇔ e^(0,125t) = 4,9 (e^-x = 1/e^x)
⇒ 0,125t = ln(4,9)
⇔ t = 8ln(4,9)
Soit t ≈ 12,7 donc 13 à 1 unité près
