Bonjour,
1) Nous allons calculer les longueurs de chaque côtés puis montrer que la relation de Pythagore est vérifiée:
[AB]=√[(x(b)-x(a))²+(y(b)-y(a))²]=√[(3-(-3))²+(2-(-4))²]=6√2
[BC]=√[(x(c)-x(b))²+(y(c)-y(b))²]=√[(7-3)²+(-2-2)²]=4√2
[CA]=√[(x(c)-x(a))²+(y(c)-y(a))²]=√[(7-(-3))²+(-2-(-4))²]=2√26
[AB]²+[BC]²=72+32
[AB]²+[BC]²=[AC]²
La relation de Pythagore est vérifiée donc ABC est un triangle rectangle en B
b) Nous allons calculer la distance CD et DA puis vérifier qu'ils la relation de Pythagore avec AC:
[CD]=√[(x(d)-x(c))²+(y(d)-y(c))²]=√[(1-7)²+(-8-(-2))²]=6√2=[AB]
[DA]=√[(x(d)-x(a))²+(y(d)-y(a))²]=√[(1-(-3))²+(-8-(-4))²]=4√2=[BC]
On remarque que [CD]²+[DA]²=[AC]² donc ADC est rectangle en C.
On a donc 2 triangle rectangle dont l’hypoténuse est commun donc on déduis que le quadrilatère ABCD est un rectangle. On en déduis également que cet hypoténuse [AC] est le diamètre du cercle circonscrit des 2 triangles rectangles. Si on nomme R le rayon alors:
R=[AC]/2=(2√26)/2=√26
