Bonjour,
f(x) = 2x/(x + 1) - 1
f'(x) = [2(x + 1) - 2x]/(x + 1)² = 2/(x + 1)²
On recherche les abscisses des points pour lesquelles la tangente est parallèle à (D) : y = 4x + 2. Donc qui ont un coefficient directeur égal à 4.
Soit f'(x) = 4
⇔ 2/(x + 1)² = 4
⇔ (x + 1)² = 1/2
⇔ [(x + 1) - √2/2][(x + 1) + √2/2] = 0
soit x = 1 - √2/2 ou x = 1 + √2/2
2) passant par l'origine ⇒ y = kx (fonction linéaire)
équation générale des tangentes en a : y = f'(a)(x - a) + f(a)
y = kx ⇒ -af'(a) + f(a) = 0
soit : -2a/(a + 1)² + 2a/(a + 1) - 1 = 0
⇔ -2a + 2a(a + 1) - (a + 1)² = 0
⇔ -2a + 2a² + 2a - a² - 2a - 1 = 0
⇔ a² - 2a - 1 = 0
Δ = 4 + 4 = 8 = (2√2)²
donc 2 solutions : x = (2 - 2√2)/2 = 1 - √2 et x = 1 + √2
