Question a
Un taux d'intérêt annuel à 4 % signifie que lorsque l'on place 100 € à la banque, cela permet d'avoir au bout d'un an 4 € supplémentaires. (Ces 4 euros sont les intérêts.) La somme totale d'argent au bout de 1 an sera donc de 104 euros.
Les intérêts produits au bout d'un an sont proportionnels à la somme initialement placée à la banque.
On peut donc trouver la valeur des intérêts au bout d'un an, en faisant un produit en croix :
Somme d'argent placée | 100 | x |
_______________________________
Intérêts | 4 | |
Pour trouver la valeur des intérêts, il faut donc effectuer le calcul suivant :
[tex] \frac{4*x}{100} = \frac{4x}{100}=0,04x[/tex]
On peut aussi trouver la valeur des intérêts en raisonnant de la façon suivante, puisque les intérêts sont proportionnels à la somme placée initialement :
100 euros rapportent 4 euros.
Donc 1 euros rapporte 100 fois moins soit [tex] \frac{4}{100} = 0,04[/tex] euros.
Donc [tex]x[/tex] euros rapportent [tex]x[/tex] fois plus soit [tex]0,04x[/tex].
L'expression des intérêts produits (i) au bout d'un an en fonction de la somme d'argent (x) placée initialement est donc :[tex] i = 0,04x[/tex]
Question b
Nous venons de voir que les intérêts produits sont [tex] i = 0,04x[/tex].
Ces intérêts s'ajoutent à la somme d'argent x qui a été placée initialement.
Donc si nous notons [tex]x_1[/tex] la somme d'argent au bout d'un an, (et en notant toujours [tex]x[/tex] la somme d'argent initiale) :
[tex]x_1 = x + 0,04x = (1+0,04)x = 1,04x[/tex]
La somme au bout de 1 an est donc :
[tex]x_1 = x + 0,04x = (1+0,04)x = 1,04x[/tex]
Question c
Nous venons de voir que la somme au bout de an est
[tex]x_1 = x + 0,04x = (1+0,04)x = 1,04x[/tex]
Au bout de deux ans, donc après une autre année :
[tex]x_2 = 1,04x_1[/tex]
Or [tex]x_1 = 1,04x[/tex]
Donc [tex]x_2 = 1,04x_1=1,04 (1,04x) = 1,04^2x[/tex]
Au bout de trois ans :
[tex]x_3 = 1,04x_2=1,04(1,04^2x)=1,04^3x[/tex]
Au bout de quatre ans :
[tex]x_4 = 1,04x_3=1,04(1,04^3x)=1,04^4x[/tex]
En utilisant le même raisonnement, au bout de cinq ans :
[tex]x_5 = 1,04^5x[/tex]
Et enfin au bout de six ans : [tex]x_6 = 1,04^6x[/tex]
Donc au bout de six années de placement, pour une somme d'argent initiale [tex]x[/tex], le client disposera d'une somme [tex]1,04^6[/tex] plus élevée, soit
[tex]x_6 = 1,04^6x[/tex]
Question d
Ici [tex]x_6 = 8000[/tex]
Or [tex]x_6 = 1,04^6x[/tex]
Donc, pour trouver [tex]x[/tex],la somme d'argent initialement placée, cela revient à résoudre l'équation :[tex]8000 = 1,04^6x[/tex]
Puisque 8000 est [tex]1,04^6[/tex] fois plus élevé que [tex]x[/tex] alors
[tex]x[/tex] est 8000 fois moins élevé.
Donc [tex]x = \frac{8000}{1,04^6} [/tex], soit 6 323 euros, en arrondissant à l'unité.
