1) calculer les longueurs AH et HB
Longueur AH: J'applique le théorème de Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H
Donc AC² = CH² + AH²
AH² = AC² - CH² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
AH = √144 = 12 cm
La longueur AH vaut 12 cm
Longueur HB: J'applique le théorème de Pythagore dans le triangle AHB rectangle en H
Donc AB² = HB² + AH²
HB² = AB² - AH² = 31.2² - 12² = 973.44 - 144 = 829.44
HB = √829.44 = 28.8 cm
La longueur HB vaut 28.8 cm
2) Le triangle ABC est - il rectangle? Justifier
Il faut appliquer la réciproque du théorème de Pythagore
AB² + AC² = 31.2² + 13² = 973.44 + 169 = 1142.44
BC² = (28.8 + 5)² = 33.8² = 1142.44 ⇒ donc le triangle ABC est rectangle en
A
3) démontrer que le quadrilatère MNBC est un losange
on sait que M est le symétrique de B par rapport à A ⇒ AM = AB
N est le symétrique de C par rapport à A ⇒ AN = AC
on sait que AB ⊥ AC ⇒ AN ⊥ AM
puisque BN² = AB² + AN² = AM² + AC² = MC² ⇒ BN = MC
MN² = AN² + AM² = AC² + AB² = BC²⇒ MN = BC
⇒ MN = BN = BC = MC ⇒ MNBC est un losange
les diagonales MB et CN sont ⊥ et se coupent au même milieu ⇒ A est milieu de MB et CN
Démontrer que MNBC est un parallélogramme
puisque MNBC est un losange donc il ne peut pas être un parallélogramme
