g(x)=|x+1|+1/(x-1) avec Dg=IR\{1}
1) si x≤-1 alors |x+1|=-x-1 ⇒ g(x)=-x-1+1/(x-1)
si x≥-1 alors |x+1|=x+1 ⇒ g(x)=x+1+1/(x-1)
2) lim(-x-1,-∞)=+∞ ; lim(1/(x-1),-∞)=0
⇒ lim(g(x),-∞)=+∞
lim(x+1,+∞)=+∞ ; lim(1/(x-1),+∞)=0
⇒ lim(g(x),+∞)=+∞
lim(g(x)-(-x-1),-∞)=0
⇒ (d1):y=-x-1 est asymptote oblique à Cg au voisinage de -∞
lim(g(x)-(x+1),+∞)=0
⇒ (d2):y=x+1 est asymptote oblique à Cg au voisinage de +∞
lim(-x-1,x→1)=-2 ;lim(x+1,x→1)=2 ; lim(1/(x-1),x→1)=∞
⇒ lim(g(x),x→1)=∞
⇒ (d3):x=1 est asymptote verticale à Cg
3)a) lim(g(x),x→-1,x<-1)=-1/2 ; lim(g(x),x→-1,x>-1)=-1/2
⇒ g est continue en -1 et g(-1)=-1/2
b) soit h>0 avec h→0
Tg=(g(-1+h)-g(-1))/h
=1/h(-1+h+1+1/(-2+h)+1/2)
=1/h(h+1/2-1/(h-2))
=1/h((h+1/2)(h-2)-1)/(h-2)
=1/h(h²-3/2h)/(h-2)
=(h-3/2)/(h-2)
⇒ lim(Tg,x→-1;x>-1)=3/4
mais lim(Tg,x→-1;x<-1)=-5/4
⇒ g n'est pas dérivable en -1 !
4) si x≤-1 alors |x+1|=-x-1
⇒ g(x)=-x-1+1/(x-1)
⇒ g'(x)=-1-1/(x-1)²
⇒ g'(x)<0
⇒ g est décroissante sur ]-∞;-1]
si x≥-1 alors |x+1|=x+1
⇒ g(x)=x+1+1/(x-1)
⇒ g'(x)=1-1/(x-1)²
⇒ g'(x)=((x-1)²-1)/(x-1)²
⇒ g'(x)=(x(x-2))/(x-1)²
⇒ g est croissante sur [-1;0] et sur [2;+∞[
et g est décroissante sur [0;1[ et sur ]1;2]
5)a) intersection de Cg et (Ox)
g(x)=0 ⇒ -x-1+1/(x-1)=0 si x<-1
⇒ x+1=1/(x-1)
⇒ x²-1=1
⇒ x=-√2 (car x<-1)
g(x)=0 ⇒ x+1+1/(x-1)=0 si x>-1
⇒ x+1=-1/(x-1)
⇒ x²-1=-1
⇒ x=0
a) intersection de Cg et (Oy)
g(0)=0 ⇒ y=0
6) graphique en annexe
