Bonjour,
1) Df = R
2) lim f(x) en -∞ = lim x³/x² = lim x = -∞
lim f(x)/x en -∞ = lim x³/x³ = 1
lim (f(x) - x) en -∞
= lim [x³ - x² - x³ + x² - x]/(x² - x + 1)
= lim -x/x²
= 0+
⇒ asymptote oblique y = x
lim f(x) en +∞ = +∞
lim f(x)/x en +∞ = +∞
⇒ branche parabolique verticale
3)
Pour x < 0, f'(x) = [(3x² - 2x)(x² - x + 1) - (2x - 1)(x³ - x²)]/(x² - x + 1)²
= (3x⁴ - 3x³ + 3x² - 2x³ + 2x² - 2x - 2x⁴ + 2x³ + x³ - x²)/(x² - x + 1)²
= (x⁴ - 2x³ + 4x² - 2x)/(x² - x + 1)²
Donc lim f'(x) quand x → 0- = 0
Pour x ≥ 0 f'(x) = √x + x/2√x = 3x/2√x = 3√x/2
⇒ f'(0) = 0
Donc f est dérivable en 0
⇒ Tangente horizontale
Pour cette question la méthode est plutôt de repartir de la définition du nombre dérivée en 0 car les dérivées sont demandées plus loin... :
lim [f(x) - f(0)]x quand x → 0- puis quand x → 0+
4) ...
ci-joint
