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résolu

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(3 ; 1) et B(8 ; 3). Le point M appartient à l'axe des abscisses ; on note xM son abscisse. On cherche les valeurs de xM pour lesquelles le triangle ABM est rectangle en M. 1. À l'aide d'une figure dynamique (GeoGebra) ou pas (papier, crayon, règle, équerre et compas), déterminer approximativement les différentes valeurs de xM. Expliquer la méthode et joindre la figure. 2. Montrer que le cercle de diamètre [AB] admet pour équation : x 2 + y 2 −11x − 4y + 27 = 0. 3. Déterminer les valeurs exactes de ces abscisses. bonjour, j'ai un probleme sur cette exercice. J'ai reussi a faire toute les quetions sauf la derniere, je ne comprend pas de quelle abcisse il parle car c'est un cercle et on ne peut pas donner d'abcisse precisse ou si? alors comment? merci!!

Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
coordonnées du milieu J du segment [ AB ] : ( 5,5 ; 2 )

distance AB = √(5² + 2²) = √(25 + 4) = √29
                                        donc Rayon du Cercle = √29 / 2 = √7,25

donc le point M ( tel que ABM soit un triangle rectangle en M ) a ses coordonnées qui vérifient cette équation du Cercle centré sur J et de Rayon égal à √7,25 cm
       ( x - 5,5 )² + ( y - 2 )²    = 7,25
x² - 11x + 5,5² + y² - 4y + 4 = 7,25
        x² - 11x + y² - 4y + 27 = 0 

Pour trouver les abscisses des points M convenables,
  il faut remplacer y par zéro, ce qui donne :
                      x² - 11x + 27 = 0
discriminant = 11² - 4 * 27 = 13
solutions Xm1 = (11 - √13)/2 = 5,5 - √3,25   OU   Xm2 = 5,5 + √3,25

on peut donner les valeurs approchées : Xm1 ≈ 3,7   OU   Xm2 ≈ 7,3

conclusion :
les points M cherchés sont donc M1(3,7 ; 0)   ou   M2(7,3 ; 0)

vérif ( avec les coordonnées de M1 ) :
    AB² = 29 ; AM² = 0,7² + 1² = 1,49 ; BM² = 4,3² + 3² = 27,49
          donc on a bien AM² + BM² = AB² ( à l' erreur d' arrondis près ! )
             d' où ABM est bien un triangle rectangle en M

                                    


                
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