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résolu

Bonjour voila 2 jours que je n'arrive pas a terminer cette exercice (je suis en 2nd)

Soit ABCD un carré de coté 10 cm.
On place un point M mobile sur [DC] puis N sur [AD] tel que DM=AN

1. A l'aide d'un logiciel de geometrie dynamique, conjecturer les positions de M pour lesquelles :
a) l'aire du traingle MNB est superieur ou egale a 42m²
b) l'aire du triangle MNB est minimale.

2. On note x=DM
a) Montrer que l'aire du MNB en fonction de x est : x²/2 -5x+50 pour tout x appartenant [0;10]
b) Demontrer les conjectures réalises en 1.

Merci beaucoup

Répondre :

salut
1) a et b je te laisses faire

2) a) 
Aire ABCD = 100
Aire ANB = (b*h)/2= 10x/2= 5x
Aire BCM = (10*(10-x))/2 = 50-5x
Aire DMN = (x*(10-x))/2= 5x-(1/2)x²

Aire BMN = Aire ABCD-Aire ANB-Aire BCM-Aire DMN
                = 100-5x-50+5x-5x+(1/2)x²
               = (1/2)x²-5x+50

b) Aire MNB >=42
(1/2)x²-5x+50>=42
(1/2)x²-5x+8>=0
delta=9 donc 2 solutions alpha= 2 et beta=8
la forme factorisée est ((x-2)(x-8))/2

tableau de signe
x               0                    2                      8                 10
x-2                     -            0         +                   +
x-8                     -                       -            0       +
Aire                    +           0         -            0       +
S= [ 0 ; 2 ] U [ 8 ; 10 ]

l'aire minimale est donnée par -b/2a
=> 5/(2*(1/2))=5
aire minimale pour x=5
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