Bonjour,
a) dans la forme factorisée de g'(x) donné par le logiciel de calcul formel, le dénominateur est un produit de carrés, donc est toujours positif.
Le signe de g'(x) est donc le même que le signe de son numérateur, soit le polynôme :
f(x) = 2x³ - 3x² - 1
b) f'(x) = 6x² - 6x = 6x(x - 1)
Donc f' s'annule en x = 0 et x = 1
On en déduit le tableau de variations de f sur l'intervalle de définition de g, soit ]-1;0] :
x -1 0
6x - 0
(x - 1) - 0
f'(x) + 0
f(x) croissante
f(-1) = -6 < 0
f(0) = -1 < 0
Donc pour tout x ∈ ]-1;0], f(x) < 0
c) f(x) < 0 ⇒ g'(x) < 0
⇒ g est décroissante sur ]-1;0]
