Bonsoir,
1 / Calculer la longueur MN de 2 façons différentes :
1ère méthode : Théorème de Pythagore dans le triangle MAN rectangle en A :
[tex]\text{MN}^2=\text{AN}^2+\text{AM}^2\\\text{MN}^2=28.8^2+(75-27)^2\\\text{MN}^2=28.8^2+48^2\\\text{MN}=\sqrt{3133.44}\\\text{MN}\approx 56[/tex]
2ème méthode : Théorème de Thalès dans le triangle rectangle DAB
Nous savons que (MN) // (DB), N ∈ [DA] et M ∈ [AB].
Nous pouvons ainsi écrire :
[tex]\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AD}}=\dfrac{\text{NM}}{\text{DB}}\\\\\dfrac{48}{75}=\dfrac{\text{MN}}{\text{DB}}\\\\\text{DB}^2=\text{CB}^2+\text{CD}^2\\\text{DB}=\sqrt{45^2+75^2}\\\text{DB}\approx 87,5\\\\87,5\times48=\text{MN}\times75\\\\\text{MN}=\dfrac{87,5\times48}{75}\\\\\text{MN}\approx 56[/tex]
Avec deux méthodes, nous trouvons que MN mesure 56.
2 / Par quelle transformation passe-t-on du triangle ANM au triangle ADB ? (précision).
Nous passons du triangle ANM au triangle ADB par le biais d'une homothétie de centre A et de rapport 75/48.
3 / Calculer l'aire du triangle CMN :
[tex]\text{Aire}=\dfrac{\text{Base}\times\text{Hauteur}}{2}[/tex]
Base = NM = 56
Hauteur = CM ≈ 52,5
[tex]\text{CM}=\sqrt{\text{MB}^2+\text{CB}^2}\\\text{CM}=\sqrt{27^2+45^2}\\\text{CM}\approx 52,5[/tex]
[tex]\text{Aire CMN}=\dfrac{56\times52,5}{2}=\dfrac{2\ 940}{2}=1\ 470[/tex]
L'aire de CMN est de 1 470.
