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Bonjour,
Un artisan bijoutier débutant estime que son bénéfice dépend du nombre de pièces [tex]x[/tex] qu’il produit en un mois, selon la fonction [tex]\mathcal{B}[/tex] définie pour [tex]x[/tex] positif ou nul par : [tex]\mathcal{B}(x)= -50x^2+ 1\ 000x-3\ 750. [/tex]
1. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle [0;+∞[ :
[tex] \left[\begin{array}{c|ccccc}x&0&&10&&+\infty\\\mathcal{B}(x)&_{-\infty}&\nearrow&^{1\ 250}&\searrow&_{-\infty}\end{array}\right] [/tex]
Avec :
[tex]\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1\ 000}{100}=10[/tex]
[tex]\beta=\mathcal{B}(\alpha)=-50(10)^2+1\ 000(10)-3\ 750\\\beta=-5\ 000+10\ 000-3\ 750\\\beta=1\ 250[/tex]
2. a) Montrer que B(x)=-50(x-5)(x-15).
[tex]\mathcal{B}(x)=-50(x-5)(x-15)[/tex] est de la forme : [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex] qui est la forme factorisée d'une fonction du second degré - où [tex]x_1[/tex] et
[tex]x_2[/tex] sont les racines de cette fonction.
Nous devons alors d'abord chercher les racines :
[tex]-50x^2+1\ 000x-3\ 750=0\\\Delta=b^2-4ac=1\ 000^2-4(-50)(-3\ 750)=250\ 000\\\\x_1,x_2=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\ x_1,x_2=\dfrac{-1\ 000\pm\sqrt{250\ 000}}{-100}\\\\ x_1,x_2=\dfrac{-1\ 000\pm500}{-100}\\\\x_1=\dfrac{-500}{-100}=5,x_2=\dfrac{-1\ 500}{-100}=15\\\\S=\left\{5,15\right\}[/tex]
[tex]\mathcal{B}(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=-50(x-5)(x-15)[/tex]
2) b) En déduire le nombre de pièces produites pour lequel le bénéfice de l’artisan est nul :
Le bénéfice est nul si le nombre de pièces est soit de 5 ou 15.
3. Pour combien de pièces produites l’artisan obtient-il un bénéfice positif?
Pour répondre à cette question nous allons utiliser un tableau de signes.
Et pour cela nous allons utiliser la forme factorisée de [tex]\mathcal{B}(x)[/tex]
[tex]\mathcal{B}(x)\ \textgreater \ 0\\-50(x-5)(x-15)\ \textgreater \ 0\\(x-5)(x-15)\ \textgreater \ 0\\\\ \left[\begin{array}{c|ccccccc}x&0&&5&&15&&+\infty\\x-5&&+&0&-&|&-\\x-15&&+&|&+&0&-&\\\mathcal{B}(x)&&+&0&-&0&+\end{array}\right] [/tex]
Par lecture graphique :
Le bénéfice est positif si le nombre de pièces est compris dans l'intervalle :
[tex]]0,5[\cup]15,+\infty[[/tex]
4. En utilisant les variations de la fonction B, déterminer le bénéfice maximum de l’artisan.
Nous l'avons déterminé à la première question.
Le bénéfice maximum correspond au maximum de la fonction : β = 1 250.
Il est d'ailleurs atteint pour un nombre de pièces α = 10
Bonne journée.
Un artisan bijoutier débutant estime que son bénéfice dépend du nombre de pièces [tex]x[/tex] qu’il produit en un mois, selon la fonction [tex]\mathcal{B}[/tex] définie pour [tex]x[/tex] positif ou nul par : [tex]\mathcal{B}(x)= -50x^2+ 1\ 000x-3\ 750. [/tex]
1. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle [0;+∞[ :
[tex] \left[\begin{array}{c|ccccc}x&0&&10&&+\infty\\\mathcal{B}(x)&_{-\infty}&\nearrow&^{1\ 250}&\searrow&_{-\infty}\end{array}\right] [/tex]
Avec :
[tex]\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1\ 000}{100}=10[/tex]
[tex]\beta=\mathcal{B}(\alpha)=-50(10)^2+1\ 000(10)-3\ 750\\\beta=-5\ 000+10\ 000-3\ 750\\\beta=1\ 250[/tex]
2. a) Montrer que B(x)=-50(x-5)(x-15).
[tex]\mathcal{B}(x)=-50(x-5)(x-15)[/tex] est de la forme : [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex] qui est la forme factorisée d'une fonction du second degré - où [tex]x_1[/tex] et
[tex]x_2[/tex] sont les racines de cette fonction.
Nous devons alors d'abord chercher les racines :
[tex]-50x^2+1\ 000x-3\ 750=0\\\Delta=b^2-4ac=1\ 000^2-4(-50)(-3\ 750)=250\ 000\\\\x_1,x_2=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\ x_1,x_2=\dfrac{-1\ 000\pm\sqrt{250\ 000}}{-100}\\\\ x_1,x_2=\dfrac{-1\ 000\pm500}{-100}\\\\x_1=\dfrac{-500}{-100}=5,x_2=\dfrac{-1\ 500}{-100}=15\\\\S=\left\{5,15\right\}[/tex]
[tex]\mathcal{B}(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=-50(x-5)(x-15)[/tex]
2) b) En déduire le nombre de pièces produites pour lequel le bénéfice de l’artisan est nul :
Le bénéfice est nul si le nombre de pièces est soit de 5 ou 15.
3. Pour combien de pièces produites l’artisan obtient-il un bénéfice positif?
Pour répondre à cette question nous allons utiliser un tableau de signes.
Et pour cela nous allons utiliser la forme factorisée de [tex]\mathcal{B}(x)[/tex]
[tex]\mathcal{B}(x)\ \textgreater \ 0\\-50(x-5)(x-15)\ \textgreater \ 0\\(x-5)(x-15)\ \textgreater \ 0\\\\ \left[\begin{array}{c|ccccccc}x&0&&5&&15&&+\infty\\x-5&&+&0&-&|&-\\x-15&&+&|&+&0&-&\\\mathcal{B}(x)&&+&0&-&0&+\end{array}\right] [/tex]
Par lecture graphique :
Le bénéfice est positif si le nombre de pièces est compris dans l'intervalle :
[tex]]0,5[\cup]15,+\infty[[/tex]
4. En utilisant les variations de la fonction B, déterminer le bénéfice maximum de l’artisan.
Nous l'avons déterminé à la première question.
Le bénéfice maximum correspond au maximum de la fonction : β = 1 250.
Il est d'ailleurs atteint pour un nombre de pièces α = 10
Bonne journée.
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