Pour s'entraîner pour un marathon, (42.195 km), Ulysse et Victor doivent augmenter chaque semaine leur distance habituelle d'entraînement qui est de 10 km.
Un coach propose plusieurs programmes et suggère un changement de chaussures dès que 1000 km ont été parcourus en tout.
Ulysse choisit un programme qui augmente sa distance d'entraînement hebdomadaire de 700 m, alors que Victor choisit de l'augmenter de 3,5% chaque semaine.
Question 1 : combien de semaines seront nécessaires à chacun pour atteindre la distance du marathon ?
Question 2 : leurs chaussures, neuves au début de l'entraînement, devront-elles être changées ?
Voici l'exercice 3 :
On considère les suites (un) et (vn) où un et vn sont les distances en km parcourues par Ulysse et Victor la n-ième semaine. Ainsi u1 = 10 et v1 = 10 .
a) la suite (un) est arithmetique
? un+1 = un +0,7 et comme un= 10+0,7n alors
un+1= 10+0,7(n+1) = 0,7n + 10,7
b) la suite (vn) est geometrique
vn+1 = vn + 3,5% vn = vn +0,035 vn= 1,035 vn
comme vn = 10(1,035)^n alors vn+1 = 10( 1,035)^(n+1)
c) question 1
un >42.195 donc 10+0,7n>42.195 0,7n>32,195 n>32,195/0.7
n>45,99 donc 46 semaines
. vn = 10(1,035)^n > 42.195 donc (1,035)^n > 42.195/10 ou 4,2195
avec calculatrice 43 semaines
question 2
au bout de 46 semaines Ulysse a parcouru
u1+u2+...+u46= (u1+u46)/2 *(46)= 23(u1+u46)= 23(10+39.4)= 1136,2 il devra donc changer de chaussures
au bout de 43 semaines Victor a parcouru
v1+v2+...+v43= (1,035v43 - v1)/ (1-0,7) = (43,897 - 10) / 0,3 =1123 environ il devra donc changer de chaussures
