soient (Un) et (Vn) deux suites définies sur N tels que pour tout entier n :
*Un = (100 n² + 1100 n + 1000)/(n + 1)
1) Démontrer que (Un) est une suite arithmétique dont vous déterminez la raison et le premier terme.
(Un) est une suite arithmétique si et seulement si la suite : (Un+1 - Un) = r
Un+1 - Un = [100 (n + 1)² + 1100 (n + 1) + 1000]/((n+ 1) + 1) - (100 n² + 1100 n + 1000)/(n + 1)
= 100(n² + 2 n + 1) + 1100 n + 1100 + 1000]/(n + 2) - (100 n² + 1100 n + 1000)/(n + 1)
= 100 n² + 1300 n + 2200)/(n + 2) - (100 n² + 1100 n + 1000)/(n + 1)
= (n + 1)(100 n² + 1300 n + 2200)/(n +2)(n +1) - (n +2)((100 n² + 1100 n + 1000)/(n + 1)(n + 2)
= [(100 n³ + 1300 n² + 2200 n + 100 n² + 1300 n + 2200) - (100 n³ 1100 n² + 1000 n + 200 n² + 2200 n + 2000]/(n+1)(n+2)
= [100 n³ + 1400 n² + 3500 n + 2200 - 100 n³ - 1300 n² - 3200 n - 2000]/(n+1)(n+2)
= [ 100 n² + 300 n + 200 ]/(n+1)(n+2)
= 100( n² + 3n + 2)/(n+1)(n+2)
= 100 (n + 2)(n+1)/(n+1)(n+2)
Un+1 - Un = 100 ⇒ (Un) est une suite arithmétique de raison r = 100
et de premier terme U0 = 1000
2) Donner l'expression de Un en fonction de n pour tout entier n.
Une suite arithmétique s'écrit : Un = U0 + nr = 1000 + 100 n
⇒ Un = 1000 + 100 n
3) même question pour le terme Vn
Vn est une suite géométrique de raison 1.05 et de premier terme V0 = 1000
Une suite géométrique pour tout entier naturel n; Vn = V0 x qⁿ
Vn = 1000 x 1.05ⁿ
4) A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que
Vn > Un ⇔ 1000 x 1.05ⁿ > 1000 + 100 n
vous continuez le calcul
