Bonsoir,
Soient : [tex]n-1,n,n+1 \text{ et }n+2[/tex] ces quatre dimensions.
Ces quatre dimensions sont en fait, les 3 cotés de la base du prisme (base triangulaire) ainsi que la profondeur (hauteur) du prisme.
[tex]n-1,n\text{ et }n+1[/tex] sont les 3 cotés de la base du prisme.
Ils apparaissent chacun 2 fois.
Quant à la profondeur : [tex]n+2[/tex] elle apparaît 3 fois.
Ce qui nous fait un total de 9 arrêtes.
1er cas : [tex]n-1,n\ et\ n+1[/tex] les arrêtes de la base.
[tex]2(n-1)+2n+2(n+1)+3(n+2)=131\\2n-2+2n+2n+2+3n+6=131\\9n+6=131\\9n=125\\n\approx 13,889...[/tex]
n n'est pas un entier.
2ème cas : [tex]n,n+1\ et\ n+2[/tex] les arrêtes de la base.
[tex]2n+2(n+1)+2(n+2)+3(n-1)=131\\2n+2n+2+2n+4+3n-3=131\\9n+3=131\\9n=128\\n\approx 14.222...[/tex]
n n'est toujours pas un entier.
3ème cas (et non des moindres) : [tex]n+1,n+2\ et\ n-1[/tex] les arrêtes de la base.
[tex]2(n+1)+2(n+2)+2(n-1)+3n=131\\2n+2+2n+4+2n-2+3n=131\\9n+4=131\\9n=127\\n\approx 14.111[/tex]
n n'est toujours pas un entier, mais nous rapprochons d'une valeur exacte.
4ème (et dernier cas) : [tex]n+2,n-1\ et\ n[/tex] les arrêtes de la base.
[tex]2(n+2)+2(n-1)+2n+3(n+1)=131\\2n+4+2n-2+2n+3+3n+3=131\\9n+5=131\\9n=126\\n=14[/tex]
Nous avons trouvé la valeur de n et donc de toutes les dimensions du prisme.
Base : [tex]n+2(16),n-1(13)\ et\ n(14)[/tex]
Profondeur : [tex]n+1(15)[/tex]
Vérifications :
[tex]2(16+13+14)=86\\3\times 15=45\\\\86+45=131[/tex]
