Bonjour,
1) Avec m = 1 on a f1(x) = -x^3 + 3/2x^2 + 1
a/ Pour étudier les variations il faut dériver a fonction, puis on sait que si f' >0, f est croissante, et si f' <0, f est décroissante.
Pour tout x dans IR, f'(x) = -3x^2 + 3x
Pour connaitre le signe de f', on cherche delta :
delta = b^2 - 4ac = 9 - 4*(-1)*0 = 9 = 3^2
donc x1 = (-b-3)/2a = 9/6 = 3/2
x2 = 0
Ainsi f' est positive sur [0, 3/2] et négative ailleurs.
Donc f est décroissante sur ] -infini ; 0[ et sur ]3/2 ; +infini[ et croissante sur [0 ; 3/2].
b/ Pour déterminer graphiquement le nombre de solution de cette équation il faut d'bord faire le lien entre l'équation et la courbe que tu as tracée à la question 1)a/
x^3 - 3/2 x^2 + k -1 = - (-x^3 +3/2 x^2 +1) +k
= - f1 (x) + k
donc x^3 - 3/2 x^2 + k -1 = 0
ssi -f1 (x) + k = 0
ssi f1 (x) = k
Le " =k " se traduit sur ton graphique par une ligne horizontale d'ordonnée k. Donc selon les valeurs de k (par exemple pour k > 3/2) tu peux voir le nombre de fois ou ka courbe de f1 couperait la droite horizontale "k".
c/ La valeur absolue autour de x^3 (dans g) signifie que l'on prend tjs la valeur positive de x^3, par exemple pour x = -2, x^3 = x*x*x = -8, donc la valeur absolue de (-2)^3 = |(-2)^3| = 8.
Ainsi sur la courbe de g, il suffit de "remonter" la courbe dans les valeurs de x < 0 par symétrie.
2) Les 3 cas à distinguer sont surement m<0, m=0 et m>0.
Dans ces 3 cas, il faut reprendre la dérivée de regarder ses signes.
Pour tout x dans IR, on a : f'(x) = -3x^2 + 3mx
Pour commencer, si m<0 on voit clairement que f' est <0 pour tout x, donc f est strictement décroissante sur IR.
Fais de même pour m = 0 et m>0 !
3) Une tangente parallèle à (O, i) signifie une tangente horizontale (comme la droite d'équation y = k avant).
4) Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité, càd où l'arrondi de la courbe "change de sens" (par exemple la forme de 2 cloches inversées à la suite). Logiquement c'est bien le centre de symétrie de ta courbe (Cm).
Les points d'inflexion ont pour coordonnées (x , f(x)) c'est-à-dire l'image de chaque point par fm.
