Bonjour;
1)
f est définie si : √(2 - |x|) > 0 ;
donc : 2 - |x| > 0 ;
donc : 2 > |x| ;
donc : x ∈ ] - 2 ; 2 [ ;
donc : Df = ] - 2 ; 2 [ .
g est définie si : √(4 - x²) > 0 ;
donc : 4 - x² > 0 ;
donc : 4 > x² ;
donc : √4 > √(x²) ;
donc : 2 > |x| ;
donc : x ∈ ] - 2 ; 1 [ ;
donc : Dg = ] - 2 ; 2 [ .
2)
Si x ∈ ] - 2 ; 0 ] : |x| = - x ;
donc : f(x) = - 2/√(2 + x) = - 2(2 + x)^(- 0,5) ;
donc : f ' (x) = - 2 * (- 0,5) * (x + 2)' * (2 + x)^(- 1,5) = (2 + x)^(- 1,5) > 0 ;
donc : f est strictement croissante sur ] - 2 ; 0 ] .
Si x ∈ [ 0 ; 2 [ : |x| = x ;
donc : f(x) = - 2/√(2 - x) = - 2(2 - x)^(- 0,5) ;
donc : f ' (x) = - 2 * (- 0,5) * (2 - x)' * (2 - x)^(- 1,5)
= (- 1) * (2 + x)^(- 1,5) = - (2 - x)^(- 1,5) < 0 ;
donc : f est strictement décroissante sur [0 ; - 2[ .
3)
a)
Pour f , on a : ∀ x ∈ Df = ] - 2 ; 2 [ , - x ∈ Df = ] - 2 ; 2 [ .
De plus , on a : f(- x) = - 2/√(2 - |- x|) = - 2/√(2 - |x|) = f(x) ;
donc : f est paire sur Df .
Pour g , on a : ∀ x ∈ Dg = ] - 2 ; 2 [ , - x ∈ Dg = ] - 2 ; 2 [ .
De plus on a : g(- x) = 3(- x)/√(4 - (- x)²) = - 3x/√(4 - x²) = - g(x) ;
donc : g est impaire sur Dg .
b)
Sur ] - 2 ; 2 [ = Df = Dg , f est paire et g impaire ;
donc leur produit est une fonction impaire .
