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Bonjour ;
Si on ne veut pas procèder par division de polynômes ,
alors on procède ainsi :
1)
On a : x² + 3x + 2 = x² + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x + 2) ;
donc P(x) est factorisable par x² + 3x + 2 si elle est factorisable à la fois
par x + 1 et par x + 2 ; donc si on a : P(- 1) = 0 et P(- 2) = 0 .
P(- 1) = 0 ;
donc : - 18 + a - b = 0 ;
donc : b = a - 18 .
P(- 2) = 0 ;
donc : - 70 + 4a - 2b = 0 ;
donc : 4a = 2b + 70 ;
donc : 2a = b + 35 = a - 18 + 35 = a + 17 ;
donc : a = 17 et b = 17 - 18 = - 1 .
2)
On a : P(x) = 4x^4 + 16x^3 + 17x² - x - 6
= 4x^4 + 4x^3 + 12x^3 + 8x² + 9x² - x - 6
= 4x²(x² + 3x + 2) + 4x^3 + 9x² - x - 6
= 4x²(x² + 3x + 2) + 4x^3 + 12x² - 3x² + 8x - 9x - 6
= 4x²(x² + 3x + 2) + 4x(x² + 3x + 2) - 3x² - 9x - 6
= 4x²(x² + 3x + 2) + 4x(x² + 3x + 2) - 3(x² + 3x + 2)
= (x² + 3x + 2)(4x² + 4x - 3) .
= (x + 1)(x + 2)(4x² + 4x - 3) : il reste à factoriser 4x² + 4x - 3 .
Le discriminant de 4x² + 4x - 3 est : Δ = 16 +48 = 64 ;
donc : √Δ = 8 ;
donc : x1 = (- 4 - 8)/8 = - 12/8 = - 3/2 et x2 = (- 4 + 8)/8 = 4/8 = 1/2 ;
donc : 4x² + 4x - 3 = (x + 3/2)(x - 1/2) ;
donc : P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3/2)(x - 1/2) .
PS : La procédure par division euclidienne des polynômes est plus simple.
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