a)
Détermination des domaines :
Le domaine d'une fonction correspond à l'ensemble des nombres x qui ont une image f(x) par cette fonction. Graphiquement les nombres x sont placés sur l'axe horizontal, appelé axe des abscisses. Les images f(x) sont placés sur l'axe verticale, appelé axe des ordonnées.
Sur le graphique de cet exercice, on voit que :
- la courbe qui représente la fonction g s'étend de x = (-5) à x = 6
(x correspondant donc aux abscisses, que l'on peut repérer grâce aux graduations de l'axe horizontal.) Donc tous les nombres réels appartenant à l'intervalle [(-5) ; 6] ont une image par la fonction g. Le domaine de la fonction g est donc [-5 ; 6].
- la courbe qui représente la fonction f semble constituée de deux parties (ce serait plus facile si les courbes étaient en couleur). La première partie correspond aux abscisses x entre (-6) et 2 ; la deuxième partie correspond aux abscisses x entre 4 et 6. Le domaine de la fonction f est donc l'union des deux intervalles [-6 ; 2] et [4 ; 6] soit [(-6) ; 2] ∪ [4 ; 6].
Détermination des zéros :
Pour déterminer les zéros des fonctions, il faut rechercher les points d'intersections entre chacune des courbes et l'axe horizontal des abscisses.
Pour la fonction f, la courbe coupe l'axe des abscisses en trois points : lorsque x=(-4) puis lorsque x=1 puis lorsque x≈5,2 (environ, car le graphique n'est pas précis). Cela signifie que lorsque x prend ces trois valeurs alors f(x) = 0. Mathématiquement, cela s'écrit : x ∈ { (-4) ; 1 ; 5,2 } ⇔ f(x)=0.
De même, pour la fonction g, la courbe coupe l'axe des abscisses pour x=(-2) et x=2 donc : x ∈ { (-2) ; 2 } ⇔ g(x)=0.
b)
1°) Pour résoudre graphiquement f(x) =g(x) il faut trouver les valeurs des abscisses des points d'intersection entre les deux courbes. Donc il faut rechercher où les courbes se coupent. Il existe trois points où les courbes se coupent où x vaut à peu près (-3,2) ; 1,5 et 6.
Donc f(x) = g(x) ⇔ x ∈ { (-3,2) ; 1,5 ; 6 }
Pour résoudre g(x) = (-2), il faut trouver les valeurs des abscisses x pour lesquels les points de la courbe g, ont pour ordonnées (-2) sur l'axe vertical. Cela correspond à peu prés à x≈(-4,2) et à x compris entre 4 et 6. En effet lorsque x est entre 4 et 6, la courbe représentant g est horizontale et tous les points de la courbe ont alors pour ordonnées (-2).
Donc g(x) = (-2) ⇔ x ∈ {(-4,2)} ∪ [4 ; 6]
De même pour résoudre f(x) = 2, on recherche les points de la courbe f qui ont pour ordonnées 2. Graphiquement leurs abscisses sont (-5,2) ; 1,5 et 4.
f(x) = (2) ⇔ x ∈ {(-5,2) ;1,5 ; 4 }
2)
Pour résoudre f(x)<0, il faut rechercher quels sont les abscisses x pour lesquels les points de la courbe f sont situés en-dessous de l'axe des abscisses.
f(x) < 0 ⇔ (-4) < x < 1 ou 5,2 < x < 6. (on pourrait aussi écrire cela sous forme d'union de deux intervalles mais il faut mettre des crochets tournés vers l'extérieur, ce que je ne sais pas faire sur ce site web.)
Pour résoudre f(x) < g(x), il faut trouver les abscisses pour lesquels la courbe f est en-dessous (plus bas) de la courbe g :
f(x) < g(x) ⇔ (-3,1) < x < 1,5
Pour résoudre g(x) + 1 > 0 :
g(x) + 1 > 0 ⇔ g(x) + 1 - 1 > 0-1 ⇔ g(x) > (-1).
Il faut donc trouver les abscisses x pour lesquels la courbe g est située au-dessus de la droite horizontale coupant l'axe vertical à l'ordonnée (-1) :
g(x)+1 > 0 ⇔ g(x) > (-1) ⇔(-3,1) < x < 3
Bon courage.
N'hésite pas à poser des questions si tu n'as pas compris quelque chose.
