Bonjour,
1) f'(x) = .... = 6/(x + 1)² donc > 0
⇒ f croissante sur ]-1;+∞[
lim en -1+ = -∞ et lim en +∞ = 4
2) U₀ = 3 donc U₀ > 2
on suppose qu'au rang n, Un > 2
Au rang (n+1) :
Un+1 = (4Un - 2)/(Un + 1)
= [4(Un + 1) - 6]/(Un + 1)
= 4 - 6/(Un + 1) (1)
Un > 2 ⇒ Un + 1 > 3 ⇒ 1/(Un + 1) < 1/3 ⇒ 6/(Un + 1) < 2 (2)
(1) et (2) ⇒ Un+1 > 4 - 2 soit Un+1 > 2
⇒ hérédité démontrée
3) non car f est croissante et Un+1 = f(Un)
