Bonjour, voir dessin en pièce jointe
1)a) AK=AB+BK
AK=AB+(1/2)BI
AK=AB+(1/2)BA+(1/2)AI
AK=(1/2)AB+(1/2)AI
AK=(1/2)(AB+AI)⇒CQFD
b) On sait que:
AK=AJ+JK
AK=AJ+(1/2)AK car on a: A=sJ(K) donc:
AJ=AK-(1/2)AK
AJ=(1/2)AK
c) AJ=(1/2)AK comme on a AI=(1/2)(AJ+AC)⇒AJ=2AI+CA d'où:
2AI+CA=(1/2)AK
4AI+2CA=AK
4(2AK+BA)+2CA=AK car ona AK=1/2(AB+AI)⇒AI=2AK+BA d'où:
8AK+4BA+2CA=AK
7AK=4AB+2AC
AK=(1/7)(4AB+2AC)
AK=(2/7)(2AB+AC)⇒CQFD
2) On part de:
BP=(1/3)BC
BA+AP=(1/3)(BA+AC)
AP=(1/3)BA-BA+(1/3)AC
AP=(-2/3)BA+(1/3)AC
AP=(2/3)AB+(1/3)AC
AP=(1/3)(2AB+AC)
3) Comme on a:
AP=(1/3)(2AB+AC)
AP=(1/3)(7/2)AK car AK=(2/7)(2AB+AC)⇒2AB+AC=(7/2)AK
AP=(7/6)AK
On en déduit que A, K et P sont alignés. De plus, on sait que A est le symétrique de K par rapport à J donc A, K et J sont alignés. D'où les points A, K, P et J sont alignés.
