Bonjour,
On se choisit un repère (A;AB,AD)
Dans ce repère : A(0;0) B(1;0) C(1;1) et D(0;1)
et AB(1;0) AD(0;1) BC(0;1) AC(1;1)
AI = AB/3 ⇒ I(1/3;0)
AJ = AD/4 ⇒ J(0;1/4)
BK = 3/8 x BC ⇔ BA + AK = 3/8 x AD ⇔ AK = AB + 3/8 x AD ⇒ K(1;3/8)
DL = DC/6 = AB/6 ⇒ L(1/6;1)
⇒ LI(1/3 - 1/6 ; 0 - 1) soit LI(1/6;-1)
JK(1 - 0 ; 3/8 -1/4) soit JK(1;1/8)
et AC(1 - 0 ; 1 - 0) soit AC(1;1)
⇒
. équation de (LI) : pour tout point M(x;y) ∈ (LI), LM = k x LI avec k ∈ R
LM(x - 1/6 ; y - 1) ⇒ x - 1/6 = k * 1/6 et y - 1 = k * (-1)
⇒ k = 1 - y et donc x - 1/6 = 1/6 * (1 - y)
⇔ 6x - 1 = 1 - y ⇔ 6x + y - 2 = 0 ⇔ y = -6x + 2
. équation de (JK) : pour tout point M ∈ (JK), JM = k' x JK avec k' ∈ R
JM(x - 0 ; y - 1/4) ⇒ x = k' * 1 et y - 1/4 = k' * 1/8
⇒ k' = x et donc y - 1/4 = 1/8 * x
⇔ x - 8y + 2 = 0 ⇔ y = x/8 + 1/4
. équation de (AC) : pour tout point M ∈ (AC), AM = k" x AC avec k" ∈ R
AM(x ; y) ⇒ x = k" * 1 et y = k" * 1
⇒ y = x
Intersection de (AB) avec (LI) :
M ∈ (AB) et M ∈ (LI) ⇒ x = -6x + 2 ⇔ 7x = 2 ⇔ x = 2/7 ⇒ y = x = 2/7
⇒ M(2/7 ; 2/7)
Intersection de (AB) avec (JK) :
M' ∈ (AB) et M' ∈ (JK) ⇒ x = x/8 + 1/4 ⇔ 7x/8 = 1/4 ⇔ x = 2/7 ⇒ y = x = 2/7
⇒ y = x = 2/7 ⇒ M(2/7;2/7)
Donc M = M'
⇒ (LI), (JK) et (AB) sont concourrantes en M(2/7;2/7)
