Bonjour,
Ex 1
1) 2 - 8/(x + 2)
= [2(x + 2) - 8]/(x + 2)
= (2x - 4)/(x + 2)
= f(x)
2) g : x → g(x) = x + 2 est croissante sur R
donc h : x → h(x) = 8/g(x) est décroissante sur ]-∞;-2[ et sur ]-2;+∞[
⇒ f : x → 2 - h(x) est croissante sur ]-∞;-2[ et sur ]-2;+∞[
3) a) voir ci-joint
b) f(x) - (2x - 2)
= (2x - 4)/(x + 2) - (2x - 2)
= [(2x - 4) - (2x - 2)(x + 2)]/(x + 2)
= (2x - 4 - 2x² - 4x + 2x + 4)/(x + 2)
= (-2x²)/(x + 2)
(-2x²) ≤ 0 sur R
Signe de f(x) - (2x - 2) :
x -∞ -2 +∞
x-2 - 0 +
f(x) - y + 0 -
⇒ Cf est au-desus de (D) pour x ∈ ]-∞;-2[
et Cf est en dessous de (D) pour x ∈ ]-2;+∞[
Ex 2
6) (??)
M ∈ [AB] ⇒ 0 ≤ x ≤ 4
donc f est définie sur [0;4]
7) f(x) = MN
MN est l'hypothénuse du triangle MDN rectangle en D
Donc MN² = MD² + DN² = (AB - AM)² + DN²
soit MN² = (4 - x)² + x² = 16 - 8x + x² + x² = 2x² - 8x + 16
⇒ f(x) = √(MN²) = √(2x² - 8x + 16)
8) je ne sais pas si tu as déjà vu les dérivées, donc on va raisonner autrement :
MN² = 2(x² - 4x + 8) = 2[(x - 2)² + 4]
Donc MN² est mimimum pour x = 2 et vaut alors 8
x -∞ 2 +∞
MN² décroiss. 8 croiss.
f(x) 4 décroiss. √8 croiss. 4
9) on en déduit MN minimum pour x = 2
soit AM = DN = 2
10) On a alors MN = f(2) = √8 = 2√2
