Bonjour,
f(x) = g(x)
⇔ (x² - 3x + 6)/2 = (3x + 13)/(x + 1)
⇔ (x + 1)(x² - 3x + 6) - 2(3x + 13) = 0
...
⇔ x³ - 2x² -3x - 20 = 0
En traçant les courbes Cf et Cg, on voit qu'elles sont concourrantes en A(4;5).
On vérifie en effet : 4³- 2x4² - 3x4 - 20 = 64 - 32 - 12 - 30 = 0
et f(4) = g(4) = 5
donc f(x) - g(x) = (x - 4)(x² + 2x + 5)
et x² + 2x + 5 = 0 n'a pas de solution dans R (Δ = 4 - 4x5) = -16)
Donc le seul point d'intersection entre Cf et Cg est A(4;5)
Tangente à Cf en A :
f'(x) = x - 3/2 ⇒ f'(4) = 4 - 3/2 = 5/2 = 2,5
Tangente à Cg en A :
g'(x) = [3(x + 1) - (3x + 13)]/(x + 1)² = (-10)/(x + 1)² ⇒ g'(4) = -10/25 = -2/5 = -0,4
Donc les coefficients directeurs respectifs des 2 tangentes à Cf et à Cg en A sont : 2,5 et -0,4
Et : 2,5 x (-0,4) = -1
⇒ Les 2 tangentes sont perpendiculaires.
