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résolu

Pouvez vous m’aider svp je n’y arrive pas.
Soit m un réel quelconque . Dans un terre du plan on considère l’ensemble Em des points M(x;y) tels que : (m-1)-(2m+3)x+10=0
1)Pourquoi l’ensemble Emest-il toujours une droite du plan ?
2) parmi les droites Em, y a-t-il des droites parallèle aux axes des coordonnées ?Si oui les déterminer.
3) démontrer que toutes les droites Em passe par un point fixe noté K.
4) Combien de droites Em passent par le point A(a;b)? Discuter suivant les valeurs des réels à et b.


Répondre :

SCOLADANVIZ

Bonjour,

je suppose qu'il faut lire :

(m - 1)y - (2m + 3)x + 10 = 0

1) pour tout réel m, (m - 1) et (2m + 3) appartiennent aussi à R.

donc l'équation est du type Ay + Bx + 10 = 0, avec A et B ∈ R

ce sui est toujours une équation de droite du plan.

2) (Em) // (Oy) ⇒ équation du type : x = k

⇒ (m - 1) = 0 ⇔ m = 1

Soit : E₁ : 5x + 10 = 0 ⇔ x = -2

3) (m - 1)y - (2m + 3)x + 10 = 0

⇔ (y - 2x)m - y - 3x + 10 = 0

Pour que cette équation soit réalisée pour tout m, il faut :

y - 2x = 0

et

-y - 3x + 10 = 0

soit :

y = 2x                                ⇒ y = 4

-2x - 3x + 10 = 0 ⇒ x = 2

Donc toutes les droite (Em) passent par K(2;4)

4) A(a;b) ∈ (Em)

⇔ (m - 1)b - (2m - 3)a + 10 = 0

⇔ (b - 2a)m - b - 3a + 10 = 0

⇔ (b - 2a)m = (b + 3a - 10)

Si (b - 2a) ≠ 0, soit b ≠ 2a, alors une solution unique, donc 1 seule droite passe par A :

 m = (b + 3a - 10)/(b - 2a)

Si (b - 2a) = 0, soit b = 2a, alors l'équation devient :

0m = b + 3a - 10 = 5a - 10   soit 5a - 10 = 0

Donc si a = 2 et b = 4, une infinité de solutions (on retrouve A = K par lequel passe toutes les droites Em)

Et si a ≠ 2, alors aucune solution, donc aucune droite ne passe par A(a;b)

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