Bonjour;
Exercice 1 .
Pour les deux questions , on va procéder par récurrence .
1)
Initialisation .
On a : 1 - e^(- 3 x 0) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0 = u_0 ;
donc la propriété donnée est vérifiée pour n = 0 .
Hérédité .
Supposons pour un "n" nombre entier naturel qu'on a :
u_n = 1 - e^(- 3n) .
Calculons u_(n + 1) .
u_(n + 1) = (u_n + e^3 - 1)/e^3
= (1 - e^(- 3n) + e^3 - 1)/e^3
= (- e^(- 3n) + e^3)/e^3
= - e^(- 3n -3) + e^(3 - 3)
= - e^(- 3(n + 1)) + e^0
= 1 - e^(-3(n + 1)) .
Conclusion .
Pour tout n nombre entier naturel : u_n = 1 - e^(- 3n) .
2)
Initialisation .
On a : 2^(3 x 0) - 1 = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Comme 7 divise 0 , donc la propriété donnée est vérifiée pour n = 0 .
Hérédité .
Supposons pour un "n" nombre entier naturel qu'on a :
7 divise 2^(3n) - 1 .
Calculons : 2^(3(n + 1)) - 1 .
2^(3(n + 1)) - 1 = 2^(3n + 3) - 1
= 2^3 x 2^(3n) - 1
= 8 x 2^(3n) - 1
= 8 x 2^(3n) - 8 + 7
= 8(2^(3n) - 1) + 7 qui est divisible par 7 car 2^(3n) - 1) l'est ;
donc : 2^(3(n + 1)) - 1 est divisible par 7 .
Conclusion .
Pour tout n nombre entier naturel : 7 divise 2^(3n) - 1 .
