on traduit l'énoncé par
a= p^∝ * c et b= p^β * d
p ne divisant ni c ni d
si α<β alors β=α+n
a+b= p^∝ * c + p^(α+n) * d = p^∝ ( c + p^n * d )
p ne divisant ni c ni d il ne divise pas c + p^n * d
on en déduit que l’exposant de p dans la décomposition de a + b est α
2) si a= p^∝ * c ; b= p^β * d et a+b= p^∝ * e ; p ne divisant ni c ni d ni e
alors p^∝ * c + p^β * d = p^∝ * e
d'où p^β * d = p^∝ * (e -c)
supposons que β≤α alors α = β + k
p^β * d = p^( β + k ) * (e -c) et d= p^k *(e-c)
d serait alors multiple de p ce qui est impossible
d'où α<β
