a) Nous allons essayer de développer le terme [tex]a-2[/tex]:
[tex]a-2 = (n+1)(n+2)-2\\\\a-2 = (n^2+3n+2)-2\\\\a-2 = n^2+3n\\\\\boxed{a-2 = n(n+3)}[/tex]
Ensuite,
[tex]a(a-2) = [(n+1)(n+2)]\cdot[n(n+3)]\\\\\boxed{a(a-2)=n(n+1)(n+2)(n+3)}\Longrightarrow\boxed{\boxed{p=a(a-2)}}~~\blacksquare[/tex]
b) En utilisant l'item ci-dessus, nous calculons [tex]p+1[/tex]:
[tex]p+1 = a(a-2) + 1\\\\p+1 = a^2-2a + 1\\\\\boxed{p+1 = (a-1)^2}[/tex]
Nous pouvons aussi substituer la valeur de [tex]a[/tex]:
[tex]p+1 = (a-1)^2\\\\p+1 = [(n+1)(n+2)-1]^2\\\\p+1 = [n^2+3n+2-1]^2\\\\\boxed{\boxed{p+1 = (n^2+3n+1)^2}}[/tex]
Puisque [tex] n [/tex] est un nombre entier, l'expression ci-dessus est un carré d'un entier, c'est-à-dire un carré parfait.
