Bonjour,
Exo 1 :
1) Le déno qui est somme d'un carré et de 2 est donc toujours positif. Il n'existe pas de valeurs interdites.
2)
Vérifions que :
(3x²-1)/(x²+2) > -1/2 soit :
(3x²-1) / (x²+2) +1/2 >0
On réduit au même déno :
[2(3x²+2)+(x²+2)] /2(x²+2) > 0
qui donne : 7x²/2(x²+2) > 0 : toujours vrai car quotient de 2 nbs positifs ou nul si x=0 donc en fait :
7x²/2(x²+2) ≥ 0
Donc -1/2 est bien le minimum de f.
3)
f(-x)=[3(-x)²-1] / [(-x)²+2]=(3x²-1) / (x²+2)=f(x)
Donc f est paire.
4)
a)On part de f(x)=3 - 7/(x²+2)
f(x)=[3(x²+2)-7] / (x²+2)
Tu développes et tu retrouves le f(x) donné.
b)Donc :
f(x)-3=-7/(x²+2)
Mais -7/(x²+2) est toujours négatif . OK ? Donc :
f(x)-3 < 0
Donc :
f(x) < 3
f(x) est majorée par M=3.
c) On utilise la forme f(x)=3 - 7/(x²+2)
Soient a < b ≤ 0
a² > b² car on est dans les valeurs négatives.
a²+2 > b²+2
1/(a²+2) < 1/(b²+2) car la fct inverse est décroissante donc varie en sens inverse de sa variable.
-7/(a²+2) > -7/(b²+2) car on multiplie par un nb négatif.
3-7/(a²+2) > 3-7/(b²+2) soit :
f(a) > f(b).
On est parti de a < b pour arriver à f(a) > f(b) qui prouve que la fct f est décroissante sur ]-inf;0].
d)La fct f est paire , sa courbe eqt symétrique par rapport à l'axe des y donc f(x) est croissante sur [0;+inf[
e) Facile.
Voir graph joint non demandé.
