Réponse :
Explications étape par étape
ex4;
f(x)=(x+1)e^x
Cette fonction est définie sur R. Calculons d'abord les limites en - et+oo
si x tend vers -oo, (x+1) tend vers -oo et e^x tend vers 0 donc f(x) tend vers 0-
si x tend vers +oo , (x+1) tend vers +oo et e^x tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo
Dérivée: c'est la dérivée d'un produit u*v sa dérivée est donc u'v+v'u
u=x+1 u'=1
v=e^x v'=e^x
f'(x)=e^x+(e^x)(x+1)=(x+2)e^x
Cette dérivée s' annule pour x=-2; elle est <0 si x<-2 et >0 si x>-2
Tableau de variation de f(x)
x -oo -2 -1 +oo
f'(x)...............-...............0................+..............................
f(x)0-......décr...............f(-2).........croi....................+oo
Au pssage on note que f(-2)=(-2+1)e^-2=-1/e² et que f(-1)=0
Donc f(x)<0 sur ]-oo;-1[ et >0 sur ]-1;+oo[
Les extrema sont les valeurs aux bornes -oo +oo (limites) et f(-2)
4) dérivée seconde f''(x) on dérivo f'(x) avec la même méthode
et on obtient f"(x)=(x+3)e^x elle s'annule pour x=-3 .En ce point la courbe passe de concave à convexe .
5-a)Equation de la tangente au point d'abscisse x=0 on applique la formule
y=f'(0)(x-0)+f(0)= réponse y=2x+1
b) la positon de la courbe (C) par rapport à la tangente (To) dépend du signe de f(x)-y si c'est>0 la courbe est au dessus de la droite si c'est <0 elle est en dessous
posons g(x)=f(x)-y=(x+1)e^x-2x-1 Etudions le signe de cette fonction.
Df=R
limites: si xtend vers -oo g(x) tend vers+oo et si x tend +oo g(x)tend vers +oo
dérivée g'(x)=(x+2) e^x -2 . ON note que g'(x) =0 pour x=0
si x>0 , (x+2)>2 et e^x>1 donc le produit est >2 et g'(x) est >0
si x<0 , (x+2)<2 et e^x<1 donc le produit est <2 et g'(x) est <0
Tableau de variations
x -oo 0 +oo
g'(x)............ - ................0............ +...................
g(x)+oo........décr............0............croi..................+oo
On note que g(0)=0
g(x) est donc > ou =0 sur R
Conclusion: la courbe (C) est au dessus de la droite (To) sauf au point d'abscisse x=0 où elle est tangente.
As-tu compris mon explication?
Réponse :
Explications étape par étape :
comme JPaul a répondu à l' exercice 4 , je réponds à l' exercice 5 :
f(x) = (2x²-3x+4) / (x-1) = [ 2x(x-1) -x +4 ] / (x-1) = 2x + (4-x)/(x-1)
1°) ■ asymptote verticale d' équation x = 1
( pour éviter le dénominateur nul ! )
■ asymptote oblique d' équation y = 2x -1 .
■ pas d' asymptote horizontale !
2°) a = 2 ; b = -1 ; et c = ?
f(x) = 2x - [ (x-1) + 3 ]/(x-1) = 2x-1 - 3/(x-1) donc c = -3 .
4°) la courbe est sous l' asymptote oblique pour x < 1 ( la courbe est au-dessus de cette asymptote pour x > 1 )
