1) je calcule l'angle TPH
a) le triangle POR est équilatéral; l'angle POR mesure 60°, son complément POT mesure 30°
le triangle TOP est isocèle, les angles à la base ont la même mesure (180° - 30°) : 2 = 75°
TPO = 75°
b) OPR = 60°
c) dans le triangle PRH l'angle PRH = anglePRS + angle SRH
= 30° + 60° = 90°
ce triangle est rectangle en R, il est isocèle, les angles à la base sont égaux à 45°
RPH = 45°
conclusion :
angle TPH = angle TPO + angle OPR + angle RPH
= 75° + 60° + 45° = 180
l'angle TPH est un angle plat, les points sont alignés.
2) méthode analytique
je choisis comme repère orthonormé (O, vectOR, vectOT)
dans ce repère T a pour coordonnées (0;1)
P se projette sur l'axe des abscisses au milieu de [OR], il a pour abscisse 1/2 et sur l'axe des ordonnées au point d'ordonnée √3/2 (√3/2 hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1)
P a pour coordonnées (1/2; √3/2)
Le point H se projette sur OT au milieu de [OT], ordonnée 1/2
Il se projette sur l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 + √3/2 ( longueur OR plus longueur de la hauteur issue de H du triangle équilatéral SRH
H a pour coordonnées (1 + √3/2 ; 1/2)
Pour terminer on montre que les vecteurs TP et TH sont colinéaires.
coordonnées vecteur TP (1/2-0 ;(√3/2)-1) soit (1/2; ((√3/2)-1)
coordonnées vecteur TH (1+√3/2 ; 1/2-1) soit (1+√3/2 ; -1/2)
je calcule le produit uv'-u'v : (1/2)(-1/2) - (1+√3/2)((√3/2)-1) =
-1/4 - (3/4 -1) = -1/4 + 1/4 = 0
ce produit est nul, les vecteurs sont colinéaires, les droitesTP et TH sont parallèles, elles ont en commun le point T => elles sont confondues
