Réponse :
Explications étape par étape
■ Un+1 = 0,8 * Un + 0,2 avec U1 = 0,2 .
■ Uo = 0 ; U1 = 0,2 ; U2 = 0,36 ; U3 = 0,488 ; ... ;
U7 = 0,79 ; ... ; U14 = 0,956 ; ... ;
U21 = 0,9908 ; ...
■ 1°) Vn = Un - 1 donc Vn+1 = Un+1 - 1 = 0,8*Un+0,2 - 1
d' où Vn+1 = 0,8*Un - 0,8 = 0,8*(Un - 1) = 0,8 * Vn .
La suite (Vn) est donc bien géométrique croissante
de raison 0,8 et de terme initial V1 = -0,8 ( ou Vo = -1 ) .
■ 2a) Un = Vn + 1 = (-1) * 0,8 puissance(n) + 1
= 1 - 0,8puiss(n) .
■ 2b) la suite (Un) est croissante
et admet pour Limite +1
( pour n tendant vers l' infini ) .
■ 2c) on doit résoudre : 1 - 0,8 puiss(n) > 0,99
-0,8 puiss(n) > -0,01
0,8 puiss(n) < 0,01
n * Log0,8 < Log0,01
-0,223 n < -4,605
n > 20,65
on retient n = 21 .
vérif : 1 - 0,8 puiss(21) ≈ 0,9908 > 0,99 vérifié !
