Réponse :
Exercice 1
1) [tex]u_{0}=0^{3}+5 \times 0+6=6\\u_{1}=1^{3}+5 \times 1+6=1+5+6=12\\u_{2}=2^{3}+5 \times 2+6=8+10+6=24\\u_{3}=3^{3}+5 \times 3+6=27+15+6=48[/tex].
[tex](u_{n})[/tex] est-elle géométrique?
[tex]\frac{u_{1}}{u_{0}} =\frac{12}{6} =2\\\frac{u_{2}}{u_{1}} =\frac{24}{12} =2\\\frac{u_{3}}{u_{2}} =\frac{48}{24} =2[/tex].
[tex]\frac{u_{1}}{u_{0}} =\frac{u_{2}}{u_{1}} =\frac{u_{3}}{u_{2}}[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est géométrique de raison 2.
2) On a:
[tex]\frac{v_{n+1}}{v_{n}} =\frac{2 \times 5^{n+2}}{2 \times 5^{n+1}} =5[/tex], donc [tex](v_{n})[/tex] et une suite géométrique de raison 5 et de premier terme [tex]v_{0}=2 \times 5^{0+1}=2 \times 5=10[/tex].
Exercice 2
1) En 2012: Population ville A: [tex]50000 \times 1,04=52000[/tex], Population ville B: [tex]50000 \times 0,95=47500[/tex].
En 2013: Population ville A: [tex]52000 \times 1,04=54080[/tex], Population ville B: [tex]47500 \times 0,95=45125[/tex].
2) On a: [tex]A_{n+1}=1,04 A_{n}\\B_{n+1}=0,95 B_{n}[/tex].
3) [tex](A_{n})[/tex] et [tex](B_{n})[/tex] sont des suites géométriques, donc pour tout entier naturel [tex]n[/tex], on a:
[tex]A_{n}=A_{0} \times 1,04^{n}=50000 \times 1,04^{n}\\B_{n}=B_{0} \times 0,95^{n}=50000 \times 0,95^{n}[/tex].
Donc pour calculer la population de ces deux villes en 2026, l'indice est [tex]2026=2011+15[/tex], donc la population de la ville A en 2026 est:
[tex]A_{15}=50000 \times 1,04^{15}=90047[/tex].
En 2026, la population de la ville B est:
[tex]B_{15}=50000 \times 0,95^{15}=23164[/tex].
