Réponse : Bonsoir,
a) [tex]\mathcal{A}_{OHM}=\frac{OH \times HM}{2} .\\OH=\sqrt{x^{2}} =x\\HM=\sqrt{(x-x)^{2}+(\frac{12}{x^{2}+4} -0)^{2}} =\sqrt{(\frac{12}{x^{2}+4})^{2}}[/tex]
Donc :
[tex]\mathcal{A}_{OHM}=\frac{x \times \frac{12}{x^{2}+4} }{2} =\frac{12x}{x^{2}+4} \times \frac{1}{2} =\frac{6x}{x^{2}+4}[/tex]
b)
[tex](\mathcal{A}_{OHM})'=(\frac{6x}{x^{2}+4})'=\frac{6(x^{2}+4)-2x(6x)}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{6x^{2}+24-12x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{-6x^{2}+24}{(x^{2}+4)^{2}}[/tex]
[tex](\mathcal{A}_{OHM})'[/tex] est du signe de [tex]-6x^{2}+24[/tex], car le dénominateur est positif.
Étudions le signe de [tex]-6x^{2}+24[/tex].
On a:[tex]24-6x^{2}=6(4-x^{2})=6(2-x)(2+x)[/tex].
Il y a deux racines, donc le discriminant [tex]\Delta >0[/tex], donc [tex]-6x^{2}+24[/tex] est du signe de [tex]-6[/tex], donc négatif, à l'extérieur de ses racines, donc [tex]-6x^{2}+24 < 0[/tex] sur [tex]]2;+\infty[[/tex], et strictement positif sur [tex][0;2[[/tex].
On a donc le tableau suivant:
x 0 2 +∞
(A_OHM)' + Ф -
3/2
A_OHM 0 croissant décroissant
c) L'aire maximale de OHM est donc 3/2, et la position du point M est:
[tex]x_{M}=2\\y_{M}=\frac{12}{2^{2}+4} =\frac{12}{8} =\frac{3}{2}[/tex], donc [tex]M(2;\frac{3}{2} )[/tex].
