Réponse :
Le 3 exercices sont intéressant mais je choisis le n°3
Explications étape par étape
1) c'est évident car AB+AC ne peut pas être <BC (Condition nécessaire pour qu'un triangle soit constructible)donc BC ne peut pas être >12/2 soit 6
2) On détermine A(x) en utilisant la formule de Héron pour calculer l'aire d'un triangle
si p=périmètre /2 on A=V[p(p-AB)(p-AC)(p-BC)]
avec p=6; BC=x; AB=AC=(12-x)/2=6-x/2
A(x)=V[(6)(x/2)(x/2)(6-x)]=V[(6x²/4)(x-6)]=(x/2)*V(36-6x)
3) Pour moi la fonction f(x) n'est pas nécessaire pour continuer
Calculons la dérivée. Pour faciliter l'écriture sur ordinateur je remplace V(36-6x) par Y
A'(x)=(1/2)(Y)-(6/2Y)*x/2 j'ai utilisé la formule donnant la dérivée d'un produit et celle donnant la dérivée de V(u)
A'(x)=Y/2-3x/2Y=(Y²-3x)/2Y ceci après mise au même dénominateur.
A'(x)=(36-9x)/2V(36-6x)
Le signe de A'(x) dépend uniquement du signe de 36-9x car le dénominateur ne peut pas être <0
A'(x)=0 si x=4
Tableau de signes de A'(x) et de variation de A(x)
x 0 4 6
A'(x).............+.............0............-.......................
A(x) 0.....crois..........A(4)........décrois..........0
L'aire est donc maximale pour x=4 donc quand le triangle est équilatéral.
