Réponse : Bonjour,
1) A(0;0), B(1;0), C(1;1), D(0;1)
2)a) ABE est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de E est aussi médiatrice, donc passe par le milieu de [AB], donc l'abscisse de E est [tex]\frac{1}{2}[/tex].
b) On appelle par [tex]H[/tex], le point d'intersection de la hauteur issue de E, et du segment [AB].
Dans le triangle EHB rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, on a:
[tex]EB^{2}=EH^{2}+HB^{2}\\EH^{2}=EB^{2}-HB^{2}\\EH^{2}=1^{2}-(\frac{1}{2} )^{2} \quad car \: H \: milieu \: de \: [AB], \: donc \: HB=\frac{1}{2} \\EH^{2}=1-\frac{1}{4} \\EH^{2}=\frac{3}{4} \\EH=\sqrt{\frac{3}{4} } =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{4} } =\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex].
c) On en déduit que [tex]E(\frac{1}{2} ;\frac{\sqrt{3}}{2} )[/tex].
d) BFC est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de F est aussi médiatrice, donc passe par le milieu de [BC], on en déduit que l'ordonnée de F est [tex]\frac{1}{2}[/tex].
De plus, puisque BFC est un triangle équilatéral de même mesure que le triangle AEB, alors d'après ce qui précède, la hauteur issue de F mesure [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Donc l'abscisse du point F est [tex]1+\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
Donc [tex]F(1+\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})[/tex].
3) Pour démontrer que les points D, E et F sont alignés, on va montrer que les vecteurs [tex]\overrightarrow{DE}[/tex] et [tex]\overrightarrow{EF}[/tex] sont alignés.
Rappel: Deux vecteurs [tex]\overrightarrow{u}(x;y), \overrightarrow{v}(x';y')[/tex] sont colinéaires si et seulement si [tex]xy'-x'y=0[/tex].
On a:
[tex]\overrightarrow{DE}=(\frac{1}{2} -0;\frac{\sqrt{3}}{2}-1)=(\frac{1}{2} ;\frac{\sqrt{3}}{2}-1)\\\overrightarrow{EF}=(1+\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2} ;\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} )=(\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2} ;\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} )\\\frac{1}{2} (\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}) -(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} -1)=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}-(\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4} -\frac{1}{2})[/tex]
(suite)
[tex]\frac{1}{4} -\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4} +\frac{1}{2}=\frac{1}{4} -\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}+\frac{2\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4} +\frac{2}{4} =\frac{3}{4} -\frac{3}{4} +\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{4}=0[/tex].
Les vecteurs [tex]\overrightarrow{DE}[/tex] et [tex]\overrightarrow{EF}[/tex] sont colinéaires, donc les points D, E et F sont alignés.
