Réponse :
Explications étape par étape
■ z³ + 3z² + 4z - 8 = 0 donne (z-1) (z² + bz + 8) = 0 .
■ 1°) (z-1) (z² + bz + 8) --> développons
--> z³ + (b-1)z² + (8-b)z - 8
--> par identification, on trouve b = 4 .
conclusion : (z-1) (z² + 4z + 8) .
■ 2°) solutions :
Zo = 1 ; cherchons les solutions complexes :
Δ = b²-4ac = 16-32 = -16 = (4i)²
d' où les solutions complexes :
Z1 = (-4 - 4i)/2 = -2-2i ; Z2 = -2+2i .
■ 4°) il est évident que le triangle ABC est isocèle en A
puisque les points B et C sont symétriques
par rapport à l' axe des abscisses,
et le point A appartient à cet axe des x .
■ 5°) on nous demande en fait l' Ensemble des points
situés à égale distance des points A et B
--> l' Ensemble cherché est donc la médiatrice
du segment [ AB ] .
comme l' affixe du milieu de [ AB ] est -0,5 - i ;
et comme l' équation de la droite (AB) est y = (2/3)x - (2/3)
--> équation de la Médiatrice de [ AB ] est y = -1,5x - 1,75 .
■ 6°) on veut maintenant (z-1) / (z+2+2i) imaginaire PUR :
(a-1 + ib) / ( a+2 + i(b+2) )
= (a-1 + ib) * ( a+2 - i(b+2) ) / [ (a+2)²+(b+2)² ]
= [ (a²+a-2+b²+2b) + i(ab+2b-ab-2a+b+2) ] / dénom
= [ (a²+a-2+b²+2b) + i(3b-2a+2) ] / dénom
on exige donc : a²+a-2+b²+2b = 0 ET 2a ≠ 3b+2
(a+0,5)² + (b+1)² = 3,25 ET a ≠ 1,5b+1
la Solution F cherchée est donc un Cercle
de Centre le milieu de [ AB ]
et de Rayon = √(13/4) ≈ 1,8 .
il faudra penser à retirer les 2 points correspondants
à (a = 1 ; b = 0) et (a = -2 ; b = -2) .
vérif avec a = b = 0,5 :
--> (z-1) / (z+2+2i) = 2,5i / 12,5 = i/5
qui est bien un imaginaire PUR !
