Réponse : Bonjour,
Exercice 1
1) Soient [tex]u,v[/tex] deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle [tex]I[/tex], alors pour tous [tex]a,b[/tex] [tex]\in I[/tex], tels que [tex]a < b[/tex], alors:
[tex]u(a) > u(b)\\v(a) > v(b)\\donc \quad u(a)+v(a) > u(b)+v(b)[/tex], donc la fonction [tex]u+v[/tex] est strictement décroissante sur [tex]I[/tex].
2)a) Soient [tex]a,b \in ]4;+\infty[[/tex], tels que [tex]a < b[/tex].
Alors:
[tex]4 <a < b\\0 <a-4 < b-4 \quad car \quad x-4 \: est \: croissante \: sur \: \mathbb{R}\\ \frac{1}{a-4} > \frac{1}{b-4} \quad car \quad \frac{1}{x} \: est \: decroissante \: sur \: ]0;+\infty[\\ \frac{5}{a-4} > \frac{5}{b-4} \\ f(a) > f(b) [/tex]
Donc [tex]f[/tex] est décroissante sur [tex]]4;+\infty[[/tex].
b) Pour tout [tex]x>4[/tex]:
[tex]-3x+1+\frac{5}{x-4}=\frac{(-3x+1)(x-4)+5}{x-4}=\frac{-3x^{2}+12x+x-4+5}{x-4}=\frac{-3x^{2}+13x+1}{x-4}=g(x)[/tex].
c) Soient [tex]a,b \in ]4;+\infty[[/tex], tels que [tex]a < b[/tex], alors:
[tex]4<a < b\\ -3a+1 > -3b+1 \quad car \: -3x+1 \: est \: decroissante \: sur \: ]4;+\infty[\\ \frac{5}{a-4} > \frac{5}{b-4} \quad car \: f \: est \: decroissante \: sur \: ]4;+\infty[\\ -3a+1+\frac{5}{a-4} > -3b+1+\frac{5}{b-4} \quad \: car \: la \: somme \: de \: deux \: fonctions \\ decroissantes \: est \: decroissante\\g(a) > g(b)[/tex].
Donc [tex]g[/tex] est décroissante sur [tex]]4;+\infty[[/tex].
Exercice 2
1) L'ensemble [tex]\xi[/tex] sur lequel [tex]f[/tex] est définie est si le dénominateur ne s'annule pas, donc [tex]]-\infty;5[\cup ]5;+\infty[[/tex] et si [tex]\sqrt{x-4}[/tex] est définie, donc si [tex]x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4[/tex], donc [tex]\xi=(]-\infty;5[\cup ]5;+\infty[)\cap [4;+\infty[=[4;5[ \cup ]5;+\infty[[/tex].
2) Pour tout [tex]x \in \xi[/tex]:
[tex]f(x)=\frac{\sqrt{x-4}-1}{x-5}=\frac{(\sqrt{x-4}-1)(\sqrt{x-4}+1)}{(x-5)(\sqrt{x-4}+1)}=\frac{x-4-1}{(x-5)(\sqrt{x-4}+1)}=\frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x-4}+1)}=\frac{x-5}{x-5} \frac{1}{\sqrt{x-4}+1}=\frac{1}{\sqrt{x-4}+1}[/tex].
3) Soient [tex]a,b \in [4;5[[/tex], tels que [tex]a<b[/tex], alors:
[tex]4\leq a < b < 5\\ 4-4 \leq a-4 < b-4 < 5-4 \quad \: car \: x-4 \: est \: croissante\\0 \leq a-4 < b-4 < 1\\\sqrt{0} \leq \sqrt{a-4} < \sqrt{b-4} < \sqrt{1} \quad car \: \sqrt{x} \: est \: croissante \sur \: [0;+\infty[\\0 \leq \sqrt{a-4} < \sqrt{b-4} < 1\\1 \leq \sqrt{a-4}+1 < \sqrt{b-4}+1 < 2\\\frac{1}{1} \geq \frac{1}{\sqrt{a-4}+1} > \frac{1}{\sqrt{b-4}+1} > \frac{1}{2} \quad car \: \frac{1}{x} \: est \: decroissante \: sur [1;2[\\1 \geq f(a) > f(b) > \frac{1}{2}[/tex]
Donc [tex]f[/tex] est décroissante sur [tex][4;5[[/tex].
Soient [tex]a,b \in ]5;+\infty[[/tex], tels que [tex]a<b[/tex], alors:
[tex]5 < a < b\\5-4 < a-4 < b-4 \quad car \: x-4 \: est \: croissante \: sur \: ]5;+\infty[\\1 < a-4 < b-4\\\sqrt{1} < \sqrt{a-4} < \sqrt{b-4} \quad car \: \sqrt{x} \: est \: croissante \: sur ]1;+\infty[\\1+1 < \sqrt{a-4}+1 < \sqrt{b-4}+1\\\frac{1}{2} > \frac{1}{\sqrt{a-4}+1} > \frac{1}{\sqrt{b-4}+1} \quad car \: \frac{1}{x} \: est \: decroissante \: sur \: ]2;+\infty[\\\frac{1}{2} > f(a) > f(b)[/tex].
Donc [tex]f[/tex] est décroissante sur [tex]]5;+\infty[[/tex].
Conclusion: En recoupant les intervalles, [tex]f[/tex] est décroissante sur [tex]\xi[/tex]
