Réponse : Bonjour,
Exercice 55
[tex]f[/tex] est une fonction affine, donc [tex]f(x)=ax+b[/tex], avec [tex]a, b[/tex] deux réels à déterminer.
On a:
[tex]f(5)=5 \Leftrightarrow 5a+b=5\\f(3) \geq f(4) \Leftrightarrow 3a+b \geq 4a+b \Leftrightarrow -a \geq 0\\f(1) \leq f(2) \Leftrightarrow a+b \leq 2a+b \Leftrightarrow -a \leq 0\\(-a \geq 0) \cap (-a \leq 0) \Rightarrow a=0\\5a+b=5 \Leftrightarrow b=5[/tex].
Donc [tex]f(x)=5[/tex].
Exercice 56
[tex]f[/tex] est une fonction affine, donc [tex]f(x)=ax+b[/tex], avec [tex]a, b \in \mathbb{R}[/tex].
On a:
[tex]f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b\\f(f(x))=4x-3 \Leftrightarrow a^{2}x+ab+b=4x-3\\[/tex].
A droite, le coefficient devant [tex]x[/tex] est 4, donc [tex]a^{2}=4[/tex], et l'ordonnée à l'origine est [tex]-3[/tex], donc [tex]ab+b=-3[/tex].
Donc:
[tex]\left \{ {{a^{2}=4} \atop {ab+b=-3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a=-2 \; ou \; a=2} \atop {ab+b=-3}} \right.[/tex].
Il y a donc deux cas à considérer, [tex]a=-2[/tex] et [tex]a=2[/tex].
Si [tex]a=-2[/tex], alors [tex]ab+b=-2b+b=-3 \Leftrightarrow -b=-3 \Leftrightarrow b=3[/tex]. Donc [tex]f(x)=-2x+3[/tex].
Si [tex]a=2[/tex], alors [tex]ab+b=2b+b=-3 \Leftrightarrow 3b=-3 \Leftrightarrow b=-1[/tex]. Donc [tex]f(x)=2x-1[/tex].
Il y a donc deux fonctions solutions, [tex]f(x)=-2x+3[/tex] et [tex]f(x)=2x-1[/tex].
Dans l'énoncé, il est indiqué trouver au moins une fonction affine [tex]f[/tex], donc une des deux fonctions ci-dessus aurait suffit, mais je vous donne les deux solutions.