Soit n le nombre cherché
n + 29 est un carré, j'appelle a le nombre dont il est le carré
on a : n + 29 = a²
n - 60 est un carré, j'appelle b le nombre dont il est le carré
on a : n - 60 = b²
on forme la différence a² - b²
a² - b² = (n + 29) - (n - 60) = 89
ou encore
(a + b)(a - b) = 89
89 est un nombre premier,
on ne peut l'écrire que sous la forme 89 = 1 x 89
c'est donc que a + b = 89 et a - b = 1
résolution de ce système :
a + b + a - b = 90 => 2a = 90
a = 45 et b = 44
revenons au départ
n + 29 = a² on sait que a vaut 45
n + 29 = 45²
n + 29 = 2025
n = 1996
